Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какие числовые функции вам известны? Перечислите эти функции и укажите для каждой из них область определения и область значений.

2. Может ли область определения числовой функции состоять из нескольких чисел?

3. Может ли множеством значений числовой функции быть: 1) числовая прямая; 2) числовой луч? Если это возможно, то приведите примеры известных вам функций с такой областью значений.

1. Известно множество числовых функций. Среди них: Линейная функция, задаваемая формулой $y = kx + b$. Ее область определения $D(y)$ — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$ при $k \neq 0$ — также все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$; при $k=0$ функция постоянна и ее область значений состоит из одного числа $E(y) = \{b\}$. Квадратичная функция, задаваемая формулой $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$ — числовой луч: при $a > 0$ это $[y_{\text{в}}; +\infty)$, а при $a < 0$ это $(-\infty; y_{\text{в}}]$, где $y_{\text{в}}$ — значение функции в вершине параболы; например, для $y=x^2$ область значений $E(y)=[0; +\infty)$. Функция обратной пропорциональности, задаваемая формулой $y = k/x$ при $k \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, и область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция квадратного корня, задаваемая формулой $y = \sqrt{x}$. Область определения $D(y) = [0; +\infty)$ и область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Показательная функция, задаваемая формулой $y = a^x$ при $a > 0, a \neq 1$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Логарифмическая функция, задаваемая формулой $y = \log_a x$ при $a > 0, a \neq 1$. Область определения $D(y) = (0; +\infty)$, а область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Перечислены основные элементарные функции (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности, квадратного корня, показательная, логарифмическая) и указаны их области определения и области значений.

2. Да, область определения числовой функции может состоять из нескольких, в том числе и конечного числа, чисел. Функция — это правило соответствия между двумя множествами, и нет требования, чтобы область определения была непрерывным промежутком. Например, можно рассмотреть функцию $y = x^3$, заданную на множестве $D(y) = \{-3, -1, 0, 2\}$. Для этой функции можно найти все ее значения: $y(-3) = -27$, $y(-1) = -1$, $y(0) = 0$, $y(2) = 8$. Область значений этой функции также будет состоять из нескольких чисел: $E(y) = \{-27, -1, 0, 8\}$.

Ответ: Да, может.

3. 1) Да, множеством значений числовой функции может быть вся числовая прямая, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Примерами функций с такой областью значений являются: любая не постоянная линейная функция $y = kx + b$ при $k \neq 0$ (например, $y = 3x+5$); любая степенная функция с нечетным натуральным показателем $y = x^n$, где $n$ — нечетное число (например, $y=x^3$ или $y=x^5$); логарифмическая функция $y = \log_a x$ (например, $y = \ln x$).

2) Да, множеством значений числовой функции может быть числовой луч, то есть множество вида $[a; +\infty)$, $(a; +\infty)$, $(-\infty; a]$ или $(-\infty; a)$. Примерами функций с такой областью значений являются: квадратичная функция $y = x^2$, ее область значений — луч $[0; +\infty)$; функция $y = \sqrt{x}$, ее область значений — также луч $[0; +\infty)$; показательная функция $y = a^x$ (например, $y=e^x$), ее область значений — луч $(0; +\infty)$; квадратичная функция $y = -x^2+1$, ее область значений — луч $(-\infty; 1]$.

Ответ: Да, множеством значений может быть как числовая прямая, так и числовой луч; приведены примеры для обоих случаев.

Найдите области определения функций (1.1–1.5):

1.1. 1) $y = 3x + 7;$ 2) $y = 5x - 0,9;$

3) $y = 8 - 2x;$ 4) $y = -1,4x + 13.$

1.1. 1) Областью определения функции называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Данная функция $y = 3x + 7$ является линейной. Выражение $3x + 7$ представляет собой многочлен, который определен для любого действительного значения переменной $x$, так как оно не содержит операций, которые могут привести к неопределенности, таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа. Следовательно, область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $y = 5x - 0,9$ также является линейной. Как и любая линейная функция, она определена для всех действительных значений аргумента $x$. Нет таких значений $x$, при подстановке которых в выражение $5x - 0,9$ мы бы получили бессмысленный результат. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Функция $y = 8 - 2x$ является линейной. Выражение $8 - 2x$ — это многочлен, который имеет смысл для любых действительных чисел $x$. Ограничений на значения, которые может принимать переменная $x$, не существует. Следовательно, область определения — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = -1,4x + 13$ — это линейная функция. Выражение в правой части уравнения, $-1,4x + 13$, определено для любого действительного числа $x$. Не существует ограничений на область определения для данного типа функций. Поэтому область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1.2. 1) $y = 5x^2;$

2) $y = -7x^2;$

3) $y = x^2 - 9;$

4) $y = -x^2 + 4,2.$

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, наиболее вероятной задачей является нахождение ключевых свойств данных квадратичных функций, таких как координаты вершины параболы и направление ее ветвей.

1) Для функции $y = 5x^2$ имеем дело с квадратичной функцией вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=5$, $b=0$, $c=0$. Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Подставляя значения, получаем: $x_0 = -0 / (2 \cdot 5) = 0$. Координату $y_0$ находим, подставляя $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = 5 \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами (0; 0). Поскольку коэффициент $a=5>0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины параболы (0; 0).

2) Для функции $y = -7x^2$ коэффициенты квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ равны $a=-7$, $b=0$, $c=0$. Координата $x_0$ вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -0 / (2 \cdot (-7)) = 0$. Координата $y_0$ вершины: $y_0 = -7 \cdot 0^2 = 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке (0; 0). Так как коэффициент $a=-7<0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины параболы (0; 0).

3) Функция $y = x^2 - 9$ является частным случаем квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-9$. График этой функции — парабола. Координаты ее вершины можно найти по стандартным формулам. Координата $x_0$ вершины: $x_0 = -b/(2a) = -0 / (2 \cdot 1) = 0$. Координата $y_0$ вершины: $y_0 = 0^2 - 9 = -9$. Вершина параболы находится в точке (0; -9). Также это можно увидеть из того, что график функции получен смещением графика $y=x^2$ на 9 единиц вниз по оси OY. Так как $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины параболы (0; -9).

4) В функции $y = -x^2 + 4,2$ коэффициенты равны $a=-1$, $b=0$, $c=4,2$. График этой функции — парабола. Координата $x_0$ ее вершины: $x_0 = -b/(2a) = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$. Координата $y_0$ вершины: $y_0 = -(0)^2 + 4,2 = 4,2$. Вершина параболы находится в точке (0; 4,2). Графически это соответствует смещению параболы $y=-x^2$ на 4,2 единицы вверх по оси OY. Так как $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины параболы (0; 4,2).

1.3. 1) $y = x^2 + \frac{1}{x};$

2) $y = x - \frac{3}{x+2};$

3) $y = \frac{5}{x} + \frac{7}{x+2};$

4) $y = \frac{x}{2x-3} + x^2.$

1) Для функции $y = x^2 + \frac{1}{x}$ найдем производную.

Представим функцию в виде $y = x^2 + x^{-1}$.

Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^2 + x^{-1})' = (x^2)' + (x^{-1})' = 2x^{2-1} + (-1)x^{-1-1} = 2x - x^{-2} = 2x - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = 2x - \frac{1}{x^2}$.

2) Для функции $y = x - \frac{3}{x+2}$ найдем производную.

Используем правило дифференцирования разности: $y' = (x)' - (\frac{3}{x+2})'$.

Производная от $x$ равна 1.

Для нахождения производной дроби $\frac{3}{x+2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, где $u=3$, а $v=x+2$.

Производные $u'=0$ и $v'=1$.

$(\frac{3}{x+2})' = \frac{0 \cdot (x+2) - 3 \cdot 1}{(x+2)^2} = -\frac{3}{(x+2)^2}$.

Собираем все вместе: $y' = 1 - (-\frac{3}{(x+2)^2}) = 1 + \frac{3}{(x+2)^2}$.

Ответ: $y' = 1 + \frac{3}{(x+2)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{5}{x} + \frac{7}{x+2}$ найдем производную.

Используем правило дифференцирования суммы. Функцию можно представить в виде $y = 5x^{-1} + 7(x+2)^{-1}$.

$y' = (5x^{-1})' + (7(x+2)^{-1})'$.

Применяем степенное правило и правило дифференцирования сложной функции:

$(5x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.

$(7(x+2)^{-1})' = 7 \cdot (-1)(x+2)^{-1-1} \cdot (x+2)' = -7(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{7}{(x+2)^2}$.

Таким образом, производная равна: $y' = -\frac{5}{x^2} - \frac{7}{(x+2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{5}{x^2} - \frac{7}{(x+2)^2}$.

4) Для функции $y = \frac{x}{2x-3} + x^2$ найдем производную.

Используем правило дифференцирования суммы: $y' = (\frac{x}{2x-3})' + (x^2)'$.

Производная второго слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной дроби $\frac{x}{2x-3}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, где $u=x$, а $v=2x-3$.

Производные $u'=1$ и $v'=2$.

$(\frac{x}{2x-3})' = \frac{1 \cdot (2x-3) - x \cdot 2}{(2x-3)^2} = \frac{2x-3-2x}{(2x-3)^2} = \frac{-3}{(2x-3)^2}$.

Складываем полученные производные: $y' = \frac{-3}{(2x-3)^2} + 2x = 2x - \frac{3}{(2x-3)^2}$.

Ответ: $y' = 2x - \frac{3}{(2x-3)^2}$.

1.4. 1) $y = \frac{1}{x^2 + 2x}$;

2) $y = \frac{1}{7 - x^2}$;

3) $y = \frac{4}{5x^2 + 0,6}$;

4) $y = -\frac{8}{9x - 4,5}$.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{x^2 + 2x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 0$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$

2) Область определения функции $y = \frac{1}{7 - x^2}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$7 - x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 7$

$x \neq \sqrt{7}$ и $x \neq -\sqrt{7}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\sqrt{7}$ и $x = \sqrt{7}$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{7}) \cup (-\sqrt{7}; \sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; +\infty)$

3) Область определения функции $y = \frac{4}{5x^2 + 0,6}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$5x^2 + 0,6 \neq 0$

Рассмотрим выражение в знаменателе. Для любого действительного числа $x$, значение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $5x^2 \ge 0$.

Тогда $5x^2 + 0,6 \ge 0 + 0,6$, то есть $5x^2 + 0,6 \ge 0,6$.

Так как знаменатель всегда больше нуля (и никогда не равен нулю), функция определена для всех действительных значений $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

4) Область определения функции $y = -\frac{8}{9x - 4,5}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю.

$9x - 4,5 \neq 0$

$9x \neq 4,5$

$x \neq \frac{4,5}{9}$

$x \neq 0,5$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = 0,5$.

Ответ: $(-\infty; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$

1.5. 1) $y = \sqrt{x+11}$;

2) $y = \sqrt{x-23}$;

3) $y = \sqrt{19+x}$;

4) $y = \sqrt{10-x}$.

1) Область определения функции $y=\sqrt{x+11}$ задается условием, что выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это необходимо, так как в области действительных чисел корень из отрицательного числа не определен.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x+11 \ge 0$

Перенесем 11 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge -11$

Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -11. Это можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-11; +\infty)$.

2) Для функции $y=\sqrt{x-23}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение $x-23$ должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$x-23 \ge 0$

Прибавим 23 к обеим частям неравенства:

$x \ge 23$

Следовательно, область определения функции включает все действительные числа, которые больше или равны 23.

Ответ: $x \in [23; +\infty)$.

3) Для функции $y=\sqrt{19+x}$ необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Функция $y=\sqrt{19+x}$ является синонимом функции $y=\sqrt{x+19}$.

Запишем и решим неравенство:

$19+x \ge 0$

Вычтем 19 из обеих частей неравенства:

$x \ge -19$

Область определения функции — это множество всех чисел $x$, которые больше или равны -19.

Ответ: $x \in [-19; +\infty)$.

4) Для функции $y=\sqrt{10-x}$ область определения также зависит от условия неотрицательности подкоренного выражения.

Составим и решим неравенство:

$10-x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства (или, что то же самое, прибавим $x$ к обеим частям):

$10 \ge x$

Это неравенство эквивалентно записи $x \le 10$. Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые меньше или равны 10.

Ответ: $x \in (-\infty; 10]$.

1.6. Напишите формулу функции $y = f(x)$, областью определения которой является множество:

1) $(-\infty; +\infty);

2) $(-\infty; 0];

3) $[-2; +\infty);

4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty).

1) Область определения $(-\infty; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел. Многие функции определены на всей числовой прямой. Самые простые примеры — это многочлены (например, линейная функция $y=x$ или квадратичная функция $y=x^2$), показательные функции (например, $y=2^x$), а также тригонометрические функции $y=\sin(x)$ и $y=\cos(x)$. В качестве примера выберем простую функцию.

Ответ: $y = x^2$ (или любая другая многочленная функция, например, $y=x+1$).

2) Область определения $(-\infty; 0]$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$). Такое ограничение часто возникает в функциях с квадратным корнем, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Для функции вида $y = \sqrt{g(x)}$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$. Если мы возьмем $g(x) = -x$, то условие примет вид $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

Ответ: $y = \sqrt{-x}$.

3) Область определения $[-2; +\infty)$ означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна $-2$ ($x \ge -2$). Как и в предыдущем пункте, для создания такого ограничения удобно использовать функцию квадратного корня $y = \sqrt{g(x)}$, где $g(x) \ge 0$. Нам нужно, чтобы неравенство $g(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \ge -2$. Этому условию удовлетворяет функция $g(x) = x+2$. Действительно, из $x+2 \ge 0$ следует $x \ge -2$.

Ответ: $y = \sqrt{x+2}$.

4) Область определения $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$ — это множество всех действительных чисел, за исключением точки $x=-6$. Такое ограничение является типичным для дробно-рациональных функций, знаменатель которых обращается в ноль в исключаемой точке. Для функции вида $y = \frac{p(x)}{q(x)}$ область определения задается условием $q(x) \neq 0$. Нам нужно, чтобы $q(x) = 0$ только при $x=-6$. Простейший многочлен, удовлетворяющий этому условию, — это $q(x) = x+6$. В качестве числителя $p(x)$ можно взять любую константу (кроме нуля) или функцию, определенную при $x=-6$.

Ответ: $y = \frac{1}{x+6}$.

Найдите множество значений функций (1.7—1.10):

1.7.1) $y = 7 - 1,4x;$

2) $y = -9 + 3x;$

3) $y = \frac{7}{1,2x - 6};$

4) $y = -\frac{1}{4,8 - 4x}.$

1.7.1) y = 7 - 1,4x;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -1,4$ и свободный член $b = 7$. Область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку угловой коэффициент $k = -1,4 \neq 0$, функция не является постоянной, а её график — это прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Такая прямая при неограниченном изменении аргумента $x$ принимает все возможные действительные значения. Чтобы доказать это аналитически, выразим $x$ через $y$:

$y = 7 - 1,4x$

$1,4x = 7 - y$

$x = \frac{7 - y}{1,4}$

Это уравнение имеет единственное решение для любого действительного значения $y$. Следовательно, множество значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) y = -9 + 3x;

Данная функция $y = -9 + 3x$ также является линейной. Её можно записать в стандартном виде $y = 3x - 9$, где $k = 3$ и $b = -9$. Так как $k = 3 \neq 0$, функция является возрастающей на всей области определения ($D(y) = \mathbb{R}$). Графиком является прямая, не параллельная оси Ox. Это означает, что её проекция на ось ординат (ось y) покрывает всю ось. Таким образом, функция может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) y = $\frac{7}{1,2x - 6}$;

Это дробно-рациональная функция. Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$. Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. В данном случае числитель равен 7, что не равно нулю. Следовательно, $y$ никогда не может быть равен нулю. Чтобы определить, может ли $y$ принимать все остальные действительные значения, выразим $x$ через $y$:

$y = \frac{7}{1,2x - 6}$

Подразумевая, что $y \neq 0$, умножим обе части на знаменатель:

$y(1,2x - 6) = 7$

$1,2x - 6 = \frac{7}{y}$

$1,2x = 6 + \frac{7}{y}$

$x = \frac{6}{1,2} + \frac{7}{1,2y} = 5 + \frac{35}{6y}$

Это выражение определено для любого действительного $y$, кроме $y=0$. Следовательно, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) y = $-\frac{1}{4,8 - 4x}$.

Это также дробно-рациональная функция. Преобразуем выражение:

$y = -\frac{1}{4,8 - 4x} = \frac{-1}{4,8 - 4x} = \frac{1}{-(4,8 - 4x)} = \frac{1}{4x - 4,8}$

Как и в предыдущем случае, числитель дроби равен 1 (константа, не равная нулю), поэтому значение функции $y$ никогда не будет равно нулю. Чтобы найти множество всех возможных значений $y$, выразим $x$:

$y = \frac{1}{4x - 4,8}$

При $y \neq 0$:

$y(4x - 4,8) = 1$

$4x - 4,8 = \frac{1}{y}$

$4x = 4,8 + \frac{1}{y}$

$x = \frac{4,8}{4} + \frac{1}{4y} = 1,2 + \frac{1}{4y}$

Это уравнение имеет решение для любого действительного $y$, кроме $y=0$. Таким образом, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

1.8.1) $y = x^2 - 9x$;

2) $y = 3x - 2x^2$;

3) $y = x^2 - 7x + 12$;

4) $y = 30 - 11x - x^2$.

Для нахождения нулей функции (точек пересечения графика с осью абсцисс) необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение относительно $x$.

1.8.1)

Дана функция $y = x^2 - 9x$.

Приравниваем $y$ к нулю, чтобы найти нули функции:$x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:$x_1 = 0$$x_2 = 9$ (так как $x - 9 = 0$)

Ответ: $0; 9$.

2) Дана функция $y = 3x - 2x^2$.

Приравниваем $y$ к нулю:$3x - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(3 - 2x) = 0$

Получаем два корня:$x_1 = 0$$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$ (так как $3 - 2x = 0 \implies 2x = 3$)

Ответ: $0; 1.5$.

3) Дана функция $y = x^2 - 7x + 12$.

Приравниваем $y$ к нулю, чтобы решить полное квадратное уравнение:$x^2 - 7x + 12 = 0$

Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. Можно найти корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.Здесь $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Альтернативно, по теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 4.

Ответ: $3; 4$.

4) Дана функция $y = 30 - 11x - x^2$.

Приравниваем $y$ к нулю:$30 - 11x - x^2 = 0$

Умножим уравнение на -1 и запишем в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$x^2 + 11x - 30 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта. Здесь $a=1$, $b=11$, $c=-30$.$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 121 + 120 = 241$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 1}$

Получаем два иррациональных корня:$x_1 = \frac{-11 - \sqrt{241}}{2}$$x_2 = \frac{-11 + \sqrt{241}}{2}$

Ответ: $\frac{-11 - \sqrt{241}}{2}; \frac{-11 + \sqrt{241}}{2}$.

Как нашли частное и остаток при делении многочлена $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x + 2)$ (табл. 19)?

Таблица 19

Частное равно $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$, остаток равен 37.

Для нахождения частного и остатка при делении многочлена $P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x+2)$ была использована схема Горнера. Это быстрый метод деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$.

1. Подготовка таблицы

Сначала необходимо подготовить данные для таблицы.

- Первая строка таблицы — это коэффициенты делимого многочлена $P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$, записанные по порядку убывания степеней переменной $x$. Важно учесть, что в многочлене отсутствует член с $x$ в первой степени, поэтому его коэффициент равен 0.

Коэффициенты:

- при $x^4$: 1

- при $x^3$: -2

- при $x^2$: 3

- при $x^1$: 0

- свободный член (при $x^0$): -7

Таким образом, первая строка таблицы заполняется числами: 1, -2, 3, 0, -7.

- Число слева от таблицы — это корень двучлена-делителя. Мы делим на $(x+2)$. Чтобы найти корень, приравниваем его к нулю: $x+2=0$, откуда $x=-2$. Это число $c$ для схемы Горнера.

2. Выполнение алгоритма по схеме Горнера

Вторая строка таблицы вычисляется пошагово:

- Шаг 1: Первый коэффициент (1) просто сносится вниз без изменений. Это первый коэффициент частного.

- Шаг 2: Чтобы получить следующее число во второй строке, нужно предыдущее полученное число (1) умножить на корень $c=-2$ и сложить с очередным коэффициентом из первой строки (-2).

$1 \cdot (-2) + (-2) = -2 - 2 = -4$

- Шаг 3: Повторяем операцию. Новое полученное число (-4) умножаем на корень $c=-2$ и складываем со следующим коэффициентом из первой строки (3).

$(-4) \cdot (-2) + 3 = 8 + 3 = 11$

- Шаг 4: Снова повторяем. Число (11) умножаем на корень $c=-2$ и складываем со следующим коэффициентом (0).

$11 \cdot (-2) + 0 = -22 + 0 = -22$

- Шаг 5: Последний шаг. Число (-22) умножаем на корень $c=-2$ и складываем с последним коэффициентом (-7).

$(-22) \cdot (-2) + (-7) = 44 - 7 = 37$

3. Интерпретация результата

В результате заполнения вторая строка таблицы содержит числа: 1, -4, 11, -22, 37.

- Числа во второй строке, кроме последнего, являются коэффициентами многочлена-частного. Степень частного всегда на единицу меньше степени исходного многочлена. Исходный многочлен был 4-й степени, значит частное будет 3-й степени.

Частное: $1 \cdot x^3 + (-4) \cdot x^2 + 11 \cdot x + (-22) = x^3 - 4x^2 + 11x - 22$.

- Последнее число во второй строке (37) — это остаток от деления.

Таким образом, деление многочлена $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x+2)$ дает частное $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$ и остаток 37.

Запись деления выглядит так:

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7 = (x+2)(x^3 - 4x^2 + 11x - 22) + 37$

Ответ: Частное равно $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$, остаток равен 37.

1. В каких случаях используется схема Горнера?

2. Как найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$?

1. В каких случаях используется схема Горнера?

Схема Горнера — это эффективный алгоритм, который применяется в нескольких ключевых ситуациях при работе с многочленами. Основные случаи её использования:

• Вычисление значения многочлена в точке. Схема Горнера позволяет быстро найти значение многочлена $P(x)$ в точке $x = c$. Этот метод требует меньше арифметических операций (всего $n$ умножений и $n$ сложений для многочлена степени $n$), чем прямое вычисление по формуле, что делает его особенно эффективным для компьютерных вычислений.

• Деление многочлена на двучлен вида $(x - c)$. Это самое известное применение схемы. В результате одного применения алгоритма одновременно находятся как коэффициенты частного (нового многочлена, степень которого на единицу меньше исходного), так и остаток от деления.

• Нахождение корней многочлена. Если остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x - c)$ равен нулю, то число $c$ является корнем этого многочлена. Схема Горнера позволяет систематически проверять предполагаемые рациональные корни (согласно теореме о рациональных корнях) и, в случае нахождения корня, сразу же получать коэффициенты многочлена меньшей степени, что упрощает поиск остальных корней.

• Разложение многочлена по степеням $(x - c)$. С помощью многократного применения схемы Горнера можно найти коэффициенты $d_k$ в разложении многочлена $P(x)$ по степеням двучлена $(x - c)$: $P(x) = d_n(x-c)^n + d_{n-1}(x-c)^{n-1} + \dots + d_1(x-c) + d_0$.

Ответ: Схема Горнера используется для быстрого вычисления значения многочлена в точке, для деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$, для нахождения корней многочлена, а также для его разложения по степеням двучлена $(x-c)$.

2. Как найти остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x − c)?

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ используется теорема Безу (также известная как теорема об остатке).

Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$.

Это следует из определения операции деления многочлена с остатком. Деление $P(x)$ на $(x - c)$ можно представить в виде тождества:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - c) + R$

Здесь $Q(x)$ — частное (неполное частное), а $R$ — остаток. Поскольку степень делителя $(x-c)$ равна 1, степень остатка $R$ должна быть меньше 1, то есть $R$ является константой (числом).

Данное равенство верно для любого значения переменной $x$. Если подставить в него значение $x = c$, мы получим:

$P(c) = Q(c) \cdot (c - c) + R$

$P(c) = Q(c) \cdot 0 + R$

$P(c) = R$

Следовательно, для нахождения остатка достаточно вычислить значение многочлена $P(x)$ при $x=c$.

Ответ: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P(c)$, то есть значению этого многочлена в точке $c$.