Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

51. Олжас живет от школы на расстоянии 1 км, Айгуль — на расстоянии 400 м. Длина шага Айгуль равна 60 см, Олжаса — 75 см. Олжас за 10 с делает 12 шагов, Айгуль — 10 шагов. Дайте ответы на следующие вопросы:

1) С какой скоростью идут в школу Айгуль и Олжас? (Скорость укажите в метрах в минуту).

2) На каком расстоянии друг от друга, возможно, живут Айгуль и Олжас?

3) Найдите возможную скорость сближения Айгуль и Олжаса.

4) Через какое время встретятся Айгуль и Олжас, если из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

5) Сколько шагов должен делать Олжас за 10 с, если он желает прийти в школу раньше Айгуль и из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

1) С какой скоростью идут в школу Айгуль и Олжас? (Скорость укажите в метрах в минуту).

Для определения скорости необходимо сначала найти расстояние, которое каждый проходит за единицу времени.

Расчет скорости Олжаса:

Длина шага Олжаса составляет 75 см, что равно $0,75$ м.

За 10 секунд Олжас делает 12 шагов. Пройденное им расстояние за это время: $S_{О}(10\text{с}) = 12 \text{ шагов} \times 0,75 \text{ м/шаг} = 9 \text{ м}$.

Скорость Олжаса в метрах в секунду: $v_{О} = \frac{9 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 0,9 \text{ м/с}$.

Чтобы перевести скорость в метры в минуту, умножим на 60, так как в одной минуте 60 секунд: $v_{О} = 0,9 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Расчет скорости Айгуль:

Длина шага Айгуль составляет 60 см, что равно $0,6$ м.

За 10 секунд Айгуль делает 10 шагов. Пройденное ей расстояние за это время: $S_{А}(10\text{с}) = 10 \text{ шагов} \times 0,6 \text{ м/шаг} = 6 \text{ м}$.

Скорость Айгуль в метрах в секунду: $v_{А} = \frac{6 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 0,6 \text{ м/с}$.

Переведем ее скорость в метры в минуту: $v_{А} = 0,6 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Ответ: Скорость Олжаса — 54 м/мин, скорость Айгуль — 36 м/мин.

2) На каком расстоянии друг от друга, возможно, живут Айгуль и Олжас?

В условии не указано, как расположены дома Олжаса и Айгуль относительно школы. Рассмотрим два наиболее вероятных сценария, предполагая, что их дома и школа лежат на одной прямой.

Расстояние от дома Олжаса до школы: $S_О = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Расстояние от дома Айгуль до школы: $S_А = 400 \text{ м}$.

Сценарий 1: Дома находятся по разные стороны от школы.

В этом случае расстояние между их домами равно сумме расстояний от каждого дома до школы: $D_1 = S_О + S_А = 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1400 \text{ м}$.

Сценарий 2: Дома находятся по одну сторону от школы.

Так как Олжас живет дальше ($1000 \text{ м} > 400 \text{ м}$), дом Айгуль расположен между домом Олжаса и школой. Расстояние между домами в этом случае равно разности расстояний до школы: $D_2 = S_О - S_А = 1000 \text{ м} - 400 \text{ м} = 600 \text{ м}$.

Ответ: Возможное расстояние между домами Айгуль и Олжаса составляет 600 м или 1400 м.

3) Найдите возможную скорость сближения Айгуль и Олжаса.

Скорость сближения зависит от их взаимного расположения, так как оба движутся к школе. Воспользуемся скоростями, вычисленными в первом пункте ($v_О = 54$ м/мин, $v_А = 36$ м/мин) и сценариями из второго пункта.

Сценарий 1: Дома находятся по разные стороны от школы.

В этом случае они движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл1} = v_О + v_А = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}} + 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 90 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Сценарий 2: Дома находятся по одну сторону от школы.

В этом случае они движутся в одном направлении, причем Олжас находится позади и движется быстрее. Он догоняет Айгуль. Скорость сближения (догона) равна разности их скоростей: $v_{сбл2} = v_О - v_А = 54 \frac{\text{м}}{\text{мин}} - 36 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 18 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Ответ: Возможная скорость сближения 90 м/мин или 18 м/мин.

4) Через какое время встретятся Айгуль и Олжас, если из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

Время до встречи ($t_{встр}$) вычисляется по формуле $t = \frac{D}{v_{сбл}}$, где $D$ — начальное расстояние, а $v_{сбл}$ — скорость сближения. Рассмотрим оба возможных сценария.

Сценарий 1: Движение навстречу.

Начальное расстояние $D_1 = 1400 \text{ м}$, скорость сближения $v_{сбл1} = 90$ м/мин.

$t_{встр1} = \frac{1400 \text{ м}}{90 \text{ м/мин}} \approx 15,55... \text{ мин}$.

Округляя до целого числа, получаем 16 минут. Обоснование: они начинают движение с расстояния 1400 м и сближаются с общей скоростью 90 м/мин.

Сценарий 2: Движение вдогонку.

Начальное расстояние $D_2 = 600 \text{ м}$, скорость сближения $v_{сбл2} = 18$ м/мин.

$t_{встр2} = \frac{600 \text{ м}}{18 \text{ м/мин}} \approx 33,33... \text{ мин}$.

Округляя до целого числа, получаем 33 минуты. Обоснование: Олжас догоняет Айгуль, сокращая начальное расстояние 600 м с относительной скоростью 18 м/мин.

Ответ: Они могут встретиться примерно через 16 минут (если идут с разных сторон от школы) или примерно через 33 минуты (если идут с одной стороны).

5) Сколько шагов должен делать Олжас за 10 с, если он желает прийти в школу раньше Айгуль и из дома они выходят одновременно? (Ответ округлите до целых и обоснуйте).

1. Найдем время, за которое Айгуль добирается до школы:

$t_А = \frac{S_А}{v_А} = \frac{400 \text{ м}}{36 \text{ м/мин}} = \frac{100}{9} \text{ мин} \approx 11,11 \text{ мин}$.

2. Олжас должен прийти раньше, значит, его время в пути $t_О$ должно быть меньше времени Айгуль: $t_О < t_А$.

Ему нужно пройти $S_О = 1000 \text{ м}$ за время $t_О < \frac{100}{9}$ мин.

3. Вычислим требуемую скорость для Олжаса ($v_О'$):

$v_О' = \frac{S_О}{t_О}$. Так как $t_О < \frac{100}{9}$, то $v_О' > \frac{S_О}{100/9} = \frac{1000 \text{ м}}{100/9 \text{ мин}} = \frac{1000 \times 9}{100} = 90 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

4. Теперь найдем, сколько шагов в 10 секунд ($N$) соответствует этой скорости. Скорость Олжаса связана с количеством шагов $N$ и длиной шага $L_О = 0,75$ м:

$v_О' (\text{м/мин}) = \frac{N \times L_О}{10 \text{ с}} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = \frac{N \times 0,75}{10} \times 60 = N \times 4,5$.

5. Составим неравенство и решим его относительно $N$:

$N \times 4,5 > 90$

$N > \frac{90}{4,5}$

$N > 20$.

Обоснование: Поскольку количество шагов $N$ должно быть целым числом, а неравенство строгое ($N > 20$), наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, это 21. Таким образом, Олжас должен делать как минимум 21 шаг за 10 секунд, чтобы прийти раньше Айгуль.

Ответ: Олжас должен делать 21 шаг за 10 секунд.

52. Путник прошел от пункта $M$ до пункта $N$ и вернулся обратно. На рисунке 6 изображен график его движения: по горизонтальной оси откладывается время движения, по вертикальной — длина пути от пункта $M$ до положения путника.

Используя график движения путника, дайте ответы на вопросы:

1) Чему равна наибольшая скорость движения путника?

2) Сколько всего времени путник двигался с наибольшей скоростью своего движения в пути от пункта $M$ к пункту $N$ и обратно?

3) Чему равна средняя скорость движения путника от пункта $M$ до пункта $N$?

1) Чему равна наибольшая скорость движения путника?

Скорость движения на графике зависимости расстояния от времени равна модулю тангенса угла наклона отрезка графика к оси времени. Чтобы найти наибольшую скорость, нужно рассчитать скорость на каждом из четырех прямолинейных участков движения и выбрать максимальное значение. Скорость вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное время.

- Участок 1 (от 0 ч до 2 ч): Путник прошел 4 км за 2 часа. Скорость $v_1 = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2$ км/ч.

- Участок 2 (от 2 ч до 6 ч): Путник прошел расстояние от отметки 4 км до 9 км, то есть $9 - 4 = 5$ км. Время в пути составило $6 - 2 = 4$ часа. Скорость $v_2 = \frac{5 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 1,25$ км/ч.

- Участок 3 (от 6 ч до 8 ч): Путник двигался в обратном направлении. Пройденное расстояние составило $9 - 3 = 6$ км. Время в пути $8 - 6 = 2$ часа. Скорость $v_3 = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 3$ км/ч.

- Участок 4 (от 8 ч до 10 ч): Путник продолжил движение в обратном направлении. Пройденное расстояние составило $3 - 0 = 3$ км. Время в пути $10 - 8 = 2$ часа. Скорость $v_4 = \frac{3 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 1,5$ км/ч.

Сравнивая полученные скорости ($2$ км/ч, $1,25$ км/ч, $3$ км/ч и $1,5$ км/ч), видим, что наибольшая скорость движения путника была 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

2) Сколько всего времени путник двигался с наибольшей скоростью своего движения в пути от пункта M к пункту N и обратно?

Из решения первого пункта мы определили, что наибольшая скорость путника равнялась 3 км/ч. Эта скорость была достигнута на третьем участке пути.

Согласно графику, этот участок соответствует временному интервалу от $t_1 = 6$ часов до $t_2 = 8$ часов.

Продолжительность движения с наибольшей скоростью равна разнице во времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 8 \text{ ч} - 6 \text{ ч} = 2$ ч.

Ответ: 2 часа.

3) Чему равна средняя скорость движения путника от пункта M до пункта N?

Средняя скорость движения на определенном участке пути вычисляется как отношение всего пройденного пути на этом участке ко всему времени движения на этом участке: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Путь от пункта M до пункта N соответствует движению от начала отсчета до точки максимального удаления от M. Из графика видно, что это движение происходило в первые 6 часов.

Общий путь, пройденный от M до N, равен максимальному значению по оси y, то есть $S_{общ} = 9$ км.

Общее время, затраченное на этот путь, составляет $t_{общ} = 6$ часов.

Таким образом, средняя скорость движения путника от пункта M до пункта N равна: $v_{ср} = \frac{9 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 1,5$ км/ч.

Ответ: 1,5 км/ч.

Найдите $P(2), P(0), P(-0.5)$, если $P(x) = 3x^4 - 2x + 1$.

Является ли число 2 корнем многочлена $x^3 + 3x^2 - 7x + 1$?

Найдите P(2), P(0), P(-0,5), если P(x) = 3x⁴ - 2x + 1.

Чтобы найти значения многочлена $P(x)$ в указанных точках, нужно подставить эти значения вместо $x$ в формулу многочлена.

1. Для $x = 2$:

$P(2) = 3 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2 + 1 = 3 \cdot 16 - 4 + 1 = 48 - 4 + 1 = 45$.

2. Для $x = 0$:

$P(0) = 3 \cdot 0^4 - 2 \cdot 0 + 1 = 3 \cdot 0 - 0 + 1 = 1$.

3. Для $x = -0,5$:

$P(-0,5) = 3 \cdot (-0,5)^4 - 2 \cdot (-0,5) + 1 = 3 \cdot 0,0625 + 1 + 1 = 0,1875 + 2 = 2,1875$.

То же самое в обыкновенных дробях: $P(-\frac{1}{2}) = 3 \cdot (-\frac{1}{2})^4 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{16} + 1 + 1 = \frac{3}{16} + 2 = \frac{3+32}{16} = \frac{35}{16}$.

Ответ: $P(2) = 45$; $P(0) = 1$; $P(-0,5) = 2,1875$ (или $\frac{35}{16}$).

Является ли число 2 корнем многочлена x³ + 3x² - 7x + 1?

Число является корнем многочлена, если при его подстановке вместо переменной значение многочлена обращается в ноль. Проверим это для числа 2 и многочлена $P(x) = x^3 + 3x^2 - 7x + 1$.

Подставим $x = 2$ в многочлен:

$P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 1 = 8 + 3 \cdot 4 - 14 + 1 = 8 + 12 - 14 + 1 = 20 - 14 + 1 = 7$.

Поскольку значение многочлена в точке $x=2$ равно 7, а не 0, число 2 не является корнем этого многочлена.

Ответ: Нет, число 2 не является корнем данного многочлена.