Страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

19. 1) Из пунктов А и В, длина пути между которыми равна 50 км, одновременно вышли навстречу друг другу два туриста. Через 5 ч они встретились. После встречи турист, идущий из пункта А в пункт В, уменьшил скорость на 1 км/ч, второй — увеличил скорость на 1 км/ч. Первый турист прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй турист в пункт А. Найдите первоначальную скорость каждого туриста.

2) Двое рабочих могут выполнить задание за 12 часов. Если половину задания будет выполнять один рабочий, затем вторую половину — другой, то задание будет выполнено за 25 часов. За сколько часов выполнит задание каждый рабочий?

3) По окружности длиной в 60 м в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с быстрее другой и при этом догоняет вторую точку через каждые 60 с. Найдите скорость каждой точки.

1) Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого туриста (из пункта А), а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго туриста (из пункта В). Расстояние между пунктами $S = 50$ км. Туристы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Они встретились через $t = 5$ часов.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$ (v_1 + v_2) \cdot 5 = 50 $

$ v_1 + v_2 = 10 $ (1)

К моменту встречи первый турист прошел расстояние $S_1 = 5v_1$ км, а второй — $S_2 = 5v_2$ км.

После встречи скорость первого туриста стала $v'_1 = v_1 - 1$ км/ч, а второго — $v'_2 = v_2 + 1$ км/ч.

Первому туристу осталось пройти путь $S_2$, а второму — $S_1$.

Время, которое затратил первый турист на оставшийся путь: $t_1 = \frac{S_2}{v'_1} = \frac{5v_2}{v_1 - 1}$.

Время, которое затратил второй турист на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S_1}{v'_2} = \frac{5v_1}{v_2 + 1}$.

По условию, первый турист прибыл в пункт B на 2 часа раньше, чем второй в пункт A, значит $t_2 - t_1 = 2$.

Составим второе уравнение:

$ \frac{5v_1}{v_2 + 1} - \frac{5v_2}{v_1 - 1} = 2 $

Получили систему из двух уравнений. Из первого уравнения выразим $v_2 = 10 - v_1$ и подставим во второе:

$ \frac{5v_1}{(10 - v_1) + 1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2 $

$ \frac{5v_1}{11 - v_1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2 $

Приведем к общему знаменателю:

$ 5v_1(v_1 - 1) - 5(10 - v_1)(11 - v_1) = 2(11 - v_1)(v_1 - 1) $

$ 5v_1^2 - 5v_1 - 5(110 - 21v_1 + v_1^2) = 2(11v_1 - 11 - v_1^2 + v_1) $

$ 5v_1^2 - 5v_1 - 550 + 105v_1 - 5v_1^2 = 24v_1 - 22 - 2v_1^2 $

$ 100v_1 - 550 = 24v_1 - 22 - 2v_1^2 $

$ 2v_1^2 + 76v_1 - 528 = 0 $

$ v_1^2 + 38v_1 - 264 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 1444 + 1056 = 2500 = 50^2$.

$ v_1 = \frac{-38 \pm 50}{2} $

$ v_{1a} = \frac{-38 + 50}{2} = 6 $.

$ v_{1b} = \frac{-38 - 50}{2} = -44 $. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Итак, первоначальная скорость первого туриста $v_1 = 6$ км/ч.

Тогда скорость второго туриста $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$ км/ч.

Ответ: первоначальная скорость первого туриста — 6 км/ч, второго — 4 км/ч.

2) Пусть $T_1$ часов — время, за которое первый рабочий может выполнить все задание, работая один, а $T_2$ часов — время для второго рабочего.

Тогда производительность первого рабочего $p_1 = 1/T_1$ (часть задания в час), а второго — $p_2 = 1/T_2$.

Работая вместе, они выполняют задание за 12 часов. Их общая производительность $p_1 + p_2$.

Составим первое уравнение: $(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1$, где 1 — это все задание.

$ p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \implies \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{12} $ (1)

По второму условию, первый рабочий выполняет половину задания (0.5), а затем второй выполняет вторую половину (0.5). Общее время составляет 25 часов.

Время работы первого: $t_1 = \frac{0.5}{p_1} = 0.5 \cdot T_1$.

Время работы второго: $t_2 = \frac{0.5}{p_2} = 0.5 \cdot T_2$.

Составим второе уравнение: $0.5T_1 + 0.5T_2 = 25$.

$ T_1 + T_2 = 50 $ (2)

Получили систему уравнений. Из второго уравнения выразим $T_2 = 50 - T_1$ и подставим в первое:

$ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{50 - T_1} = \frac{1}{12} $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{50 - T_1 + T_1}{T_1(50 - T_1)} = \frac{1}{12} $

$ \frac{50}{50T_1 - T_1^2} = \frac{1}{12} $

$ 12 \cdot 50 = 50T_1 - T_1^2 $

$ 600 = 50T_1 - T_1^2 $

$ T_1^2 - 50T_1 + 600 = 0 $

Найдем корни по теореме Виета: $T_{1a} + T_{1b} = 50$, $T_{1a} \cdot T_{1b} = 600$. Корни равны 20 и 30.

Или через дискриминант: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2$.

$ T_1 = \frac{50 \pm 10}{2} $

Если $T_1 = \frac{50 + 10}{2} = 30$ часов, то $T_2 = 50 - 30 = 20$ часов.

Если $T_1 = \frac{50 - 10}{2} = 20$ часов, то $T_2 = 50 - 20 = 30$ часов.

В обоих случаях времена выполнения задания для каждого рабочего — 20 и 30 часов.

Ответ: один рабочий выполнит задание за 20 часов, а другой — за 30 часов.

3) Пусть $v_1$ м/с — скорость первой точки, а $v_2$ м/с — скорость второй точки. Пусть $v_1 > v_2$. Длина окружности $L = 60$ м.

Время, за которое первая (быстрая) точка делает полный оборот: $t_1 = \frac{L}{v_1} = \frac{60}{v_1}$ с.

Время, за кое вторая (медленная) точка делает полный оборот: $t_2 = \frac{L}{v_2} = \frac{60}{v_2}$ с.

По условию, первая точка делает оборот на 5 с быстрее второй, значит $t_2 - t_1 = 5$.

Составим первое уравнение:

$ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 $ (1)

Точки движутся в одном направлении, и быстрая догоняет медленную каждые 60 с. Это означает, что за 60 с быстрая точка проходит на один круг (60 м) больше, чем медленная.

Скорость сближения (или относительная скорость) равна $v_{отн} = v_1 - v_2$.

За время $t_{встр} = 60$ с быстрая точка "нагоняет" расстояние $L = 60$ м.

$ L = v_{отн} \cdot t_{встр} $

$ 60 = (v_1 - v_2) \cdot 60 $

Отсюда получаем второе уравнение:

$ v_1 - v_2 = 1 $ (2)

Получили систему уравнений. Из второго уравнения выразим $v_1 = v_2 + 1$ и подставим в первое уравнение:

$ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_2 + 1} = 5 $

Разделим обе части уравнения на 5:

$ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_2 + 1} = 1 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{12(v_2 + 1) - 12v_2}{v_2(v_2 + 1)} = 1 $

$ \frac{12v_2 + 12 - 12v_2}{v_2^2 + v_2} = 1 $

$ \frac{12}{v_2^2 + v_2} = 1 $

$ v_2^2 + v_2 = 12 $

$ v_2^2 + v_2 - 12 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$ v_2 = \frac{-1 \pm 7}{2} $

$ v_{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $.

$ v_{2b} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 $. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит.

Итак, скорость медленной точки $v_2 = 3$ м/с.

Тогда скорость быстрой точки $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м/с.

Ответ: скорость одной точки — 4 м/с, другой — 3 м/с.

20. 1) Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй — 68% олова. Найдите массы этих слитков, чтобы при их совместной переплавке получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди.

2) Смесь массой 18 кг состоит из двух веществ. После того как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго вещества, в смеси обоих веществ стало одинаковое количество. Найдите первоначальное количество каждого вещества в этой смеси.

1) Обозначим массу первого слитка как $m_1$ (в кг), а массу второго слитка как $m_2$ (в кг).Согласно условию, общая масса полученного сплава равна 8 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$m_1 + m_2 = 8$.

Первый слиток содержит 40% меди, значит, масса меди в нем составляет $0.4 \cdot m_1$.Второй слиток содержит 68% олова, следовательно, меди в нем $100\% - 68\% = 32\%$. Масса меди во втором слитке составляет $0.32 \cdot m_2$.Полученный сплав массой 8 кг содержит 35% меди, то есть общая масса меди в нем равна $8 \cdot 0.35 = 2.8$ кг.

Сумма масс меди из двух слитков равна массе меди в конечном сплаве. Составим второе уравнение:$0.4 m_1 + 0.32 m_2 = 2.8$.

Получаем систему из двух уравнений:$\begin{cases} m_1 + m_2 = 8 \\ 0.4 m_1 + 0.32 m_2 = 2.8\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_1$: $m_1 = 8 - m_2$.Подставим это выражение во второе уравнение:$0.4(8 - m_2) + 0.32 m_2 = 2.8$$3.2 - 0.4 m_2 + 0.32 m_2 = 2.8$$3.2 - 0.08 m_2 = 2.8$$0.08 m_2 = 3.2 - 2.8$$0.08 m_2 = 0.4$$m_2 = \frac{0.4}{0.08} = 5$ кг.

Теперь найдем массу первого слитка:$m_1 = 8 - m_2 = 8 - 5 = 3$ кг.

Таким образом, масса первого слитка равна 3 кг, а масса второго — 5 кг.

Ответ: масса первого слитка — 3 кг, масса второго слитка — 5 кг.

2) Обозначим первоначальную массу первого вещества как $x$ (в кг), а второго — как $y$ (в кг).Общая масса смеси составляет 18 кг, значит, можем составить первое уравнение:$x + y = 18$.

Из смеси выделили 40% первого вещества. Следовательно, в смеси осталось $100\% - 40\% = 60\%$ первого вещества. Его масса стала $x - 0.4x = 0.6x$.Из смеси выделили 25% второго вещества. Следовательно, в смеси осталось $100\% - 25\% = 75\%$ второго вещества. Его масса стала $y - 0.25y = 0.75y$.

По условию, после выделения части веществ их массы в смеси стали равны. Составим второе уравнение:$0.6x = 0.75y$.

Получаем систему из двух уравнений:$\begin{cases} x + y = 18 \\ 0.6x = 0.75y\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:$x = \frac{0.75}{0.6}y = \frac{75}{60}y = \frac{5}{4}y = 1.25y$.Подставим это выражение в первое уравнение:$1.25y + y = 18$$2.25y = 18$$y = \frac{18}{2.25} = \frac{18}{9/4} = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$ кг.

Теперь найдем первоначальную массу первого вещества:$x = 18 - y = 18 - 8 = 10$ кг.

Таким образом, первоначальная масса первого вещества — 10 кг, а второго — 8 кг.

Ответ: первоначальное количество первого вещества — 10 кг, второго вещества — 8 кг.

21. 1) Значение суммы квадратов цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

2) Некоторое положительное двузначное число на 9 больше значения суммы его цифр. Квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Найдите это число.

1) Пусть искомое положительное двузначное число представлено в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. Так как число двузначное, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Согласно первому условию, сумма квадратов цифр числа равна 13. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + y^2 = 13$

Согласно второму условию, если от этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид $10y + x$. Составим второе уравнение:

$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Упростим второе уравнение:

$10x - x + y - 10y = 9$

$9x - 9y = 9$

$x - y = 1$

Из этого уравнения выразим $x$: $x = y + 1$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(y + 1)^2 + y^2 = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$

$2y^2 + 2y - 12 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$y^2 + y - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Следовательно, единственное подходящее значение $y = 2$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Таким образом, искомое число — это 32.

Проверим: сумма квадратов цифр $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Вычитание 9: $32 - 9 = 23$. Условия выполняются.

Ответ: 32

2) Пусть искомое положительное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. $a \in \{1, ..., 9\}$, $b \in \{0, ..., 9\}$.

По первому условию, число на 9 больше значения суммы его цифр. Запишем это в виде уравнения:

$10a + b = (a + b) + 9$

Упростим это уравнение:

$10a + b - a - b = 9$

$9a = 9$

$a = 1$

Таким образом, мы нашли цифру десятков, она равна 1.

По второму условию, квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Составим второе уравнение:

$(10a + b)^2 = b^2 + 180$

Подставим в это уравнение найденное значение $a=1$:

$(10 \cdot 1 + b)^2 = b^2 + 180$

$(10 + b)^2 = b^2 + 180$

Раскроем скобки в левой части:

$100 + 20b + b^2 = b^2 + 180$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$100 + 20b = 180$

Решим полученное линейное уравнение относительно $b$:

$20b = 180 - 100$

$20b = 80$

$b = \frac{80}{20}$

$b = 4$

Мы нашли цифру единиц, она равна 4.

Искомое число состоит из цифры десятков $a=1$ и цифры единиц $b=4$, то есть это число 14.

Проверим: сумма цифр $1+4=5$. Число 14 больше 5 на 9 ($14 = 5+9$). Квадрат числа $14^2 = 196$. Квадрат цифры единиц $4^2 = 16$. Разница $196 - 16 = 180$. Условия выполняются.

Ответ: 14

22. Постройте график и укажите множество значений функции:

1) $y = \begin{cases} x+3, \text{ если } x < -2, \\ x^2-3, \text{ если } x \ge -2; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2x-2, \text{ если } x < -1, \\ x^2-1, \text{ если } x \ge -1; \end{cases}$

3) $y = 3\sqrt{x-2};$

4) $y = 3-\sqrt{x};$

5) $y = x^2+2|x|;$

6) $y = -x^2+4|x|;$

7) $y = 3x-x \cdot |x|;$

8) $y = x \cdot |x|-2x.$

1) $y = \begin{cases} x+3, & \text{если } x < -2 \\ x^2-3, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y=x+3$ для $x < -2$. Это луч прямой. Для построения найдем координаты граничной точки (она будет выколотой): при $x=-2$, $y=-2+3=1$. Точка $(-2; 1)$. Возьмем еще одну точку, например, при $x=-4$, $y=-4+3=-1$. Точка $(-4; -1)$.

Вторая часть – это график функции $y=x^2-3$ для $x \ge -2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Поскольку $0 > -2$, вершина принадлежит этой части графика. Значение в граничной точке: при $x=-2$, $y=(-2)^2-3=1$. Точка $(-2; 1)$ закрашенная.

График функции непрерывен, так как в точке $x=-2$ обе части сходятся в точке $(-2; 1)$. График представляет собой луч, переходящий в параболу.Для нахождения множества значений (области значений) функции проанализируем её поведение. На промежутке $(-\infty; -2)$ функция возрастает от $-\infty$ до $1$. На промежутке $[-2; +\infty)$ функция сначала убывает от $y=1$ до своего минимума в вершине $y=-3$ (при $x=0$), а затем возрастает до $+\infty$. Объединяя значения, которые принимает функция на этих участках, $(-\infty; 1) \cup [-3; +\infty)$, мы видим, что функция принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \begin{cases} 2x-2, & \text{если } x < -1 \\ x^2-1, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

График этой функции также состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y=2x-2$ для $x < -1$. Это луч прямой. Граничная точка (выколотая): при $x=-1$, $y=2(-1)-2=-4$. Точка $(-1; -4)$. Другая точка: при $x=-2$, $y=2(-2)-2=-6$. Точка $(-2; -6)$.

Вторая часть – это график функции $y=x^2-1$ для $x \ge -1$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$. Поскольку $0 \ge -1$, вершина принадлежит графику. Значение в граничной точке (закрашенная): при $x=-1$, $y=(-1)^2-1=0$. Точка $(-1; 0)$.

В точке $x=-1$ функция имеет разрыв. График состоит из луча, идущего до точки $(-1; -4)$ (не включая ее), и части параболы, начинающейся в точке $(-1; 0)$.Множество значений для первой части ($x<-1$): так как $y=2x-2$ возрастает, а $x<-1$, то $2x<-2$, и $2x-2<-4$. Значения $y \in (-\infty; -4)$.Множество значений для второй части ($x \ge -1$): минимум функции достигается в вершине $(0; -1)$, поэтому $y_{min}=-1$. Значения $y \in [-1; +\infty)$.Объединяя эти два множества, получаем общее множество значений функции.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)$.

3) $y = 3\sqrt{x} - 2$

График этой функции является преобразованием графика функции $y=\sqrt{x}$. Область определения: $x \ge 0$.График $y=\sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси $Oy$ ($y=3\sqrt{x}$) и затем сдвигается на 2 единицы вниз по оси $Oy$.Начальная точка графика: при $x=0$, $y=3\sqrt{0}-2=-2$. Точка $(0; -2)$.Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y=3\sqrt{1}-2=1$. Точка $(1; 1)$. При $x=4$, $y=3\sqrt{4}-2=3 \cdot 2-2=4$. Точка $(4; 4)$.График начинается в точке $(0; -2)$ и монотонно возрастает.Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $3\sqrt{x} \ge 0$, и $3\sqrt{x}-2 \ge -2$. Минимальное значение функции равно $-2$ и достигается при $x=0$. Верхней границы нет.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [-2; +\infty)$.

4) $y = 3 - \sqrt{x}$

График этой функции также является преобразованием графика $y=\sqrt{x}$. Область определения: $x \ge 0$.График $y=\sqrt{x}$ отражается симметрично относительно оси $Ox$ ($y=-\sqrt{x}$) и затем сдвигается на 3 единицы вверх по оси $Oy$.Начальная точка графика: при $x=0$, $y=3-\sqrt{0}=3$. Точка $(0; 3)$.Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y=3-\sqrt{1}=2$. Точка $(1; 2)$. При $x=9$, $y=3-\sqrt{9}=0$. Точка $(9; 0)$.График начинается в точке $(0; 3)$ и монотонно убывает.Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$, и $3-\sqrt{x} \le 3$. Максимальное значение функции равно $3$ и достигается при $x=0$. Нижней границы нет.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; 3]$.

5) $y = x^2 + 2|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2+2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой в точке $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. На промежутке $[0; +\infty)$ эта функция возрастает. График начинается в точке $(0;0)$.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = x^2-2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой в точке $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. На промежутке $(-\infty; 0)$ эта функция убывает.Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| = x^2+2|x| = y(x)$. Её график симметричен относительно оси $Oy$.Минимум функции достигается в точке $x=0$, где $y=0$. В обе стороны от $x=0$ функция возрастает до $+\infty$.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

6) $y = -x^2 + 4|x|$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = -x^2+4x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = -2^2+4 \cdot 2 = -4+8=4$. Вершина в точке $(2; 4)$.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = -x^2-4x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-4)/(2 \cdot (-1)) = -2$. $y_v = -(-2)^2-4(-2) = -4+8=4$. Вершина в точке $(-2; 4)$.Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$.График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $(0;0)$. Он поднимается до максимумов в точках $(-2; 4)$ и $(2; 4)$, а затем уходит в $-\infty$. Максимальное значение функции равно 4.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; 4]$.

7) $y = 3x - x|x|$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = 3x - x^2 = -x^2+3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -3/(2 \cdot (-1)) = 1.5$. $y_v = -(1.5)^2+3 \cdot 1.5 = -2.25+4.5=2.25$. Точка $(1.5; 2.25)$ - локальный максимум.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = 3x - x(-x) = 3x+x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -3/(2 \cdot 1) = -1.5$. $y_v = (-1.5)^2+3(-1.5) = 2.25-4.5=-2.25$. Точка $(-1.5; -2.25)$ - локальный минимум.Функция непрерывна (обе части проходят через $(0;0)$). На промежутке $x \ge 0$ она принимает значения $(-\infty; 2.25]$. На промежутке $x < 0$ она принимает значения $[-2.25; +\infty)$.Поскольку функция непрерывна, уходит на $-\infty$ при $x \to +\infty$ и на $+\infty$ при $x \to -\infty$, она принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

8) $y = x|x| - 2x$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = x^2-2x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_v = 1^2-2 \cdot 1=-1$. Точка $(1; -1)$ - локальный минимум.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = -x^2-2x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot (-1)) = -1$. $y_v = -(-1)^2-2(-1)=-1+2=1$. Точка $(-1; 1)$ - локальный максимум.Функция непрерывна и проходит через точку $(0;0)$.При $x \to +\infty$ функция $y=x^2-2x \to +\infty$.При $x \to -\infty$ функция $y=-x^2-2x \to -\infty$.Так как функция непрерывна и не ограничена ни сверху, ни снизу, она принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

23. Постройте график функции и найдите наибольшее или наименьшее значение функции (если они существуют):

1) $y = 2x^2 - 2x + 3;$

2) $y = -2x^2 - 4x + 5;$

3) $y = 4 - \sqrt{x-2};$

4) $y = -2 + \sqrt{3-x}.$

1) $y = 2x^2 - 2x + 3$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Для построения графика определим координаты вершины параболы и найдём несколько точек.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

$y_0 = 2(0.5)^2 - 2(0.5) + 3 = 2 \cdot 0.25 - 1 + 3 = 0.5 - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(0.5; 2.5)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения графика:

Если $x=0$, то $y = 2(0)^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.

Если $x=1$, то $y = 2(1)^2 - 2(1) + 3 = 2 - 2 + 3 = 3$. Точка $(1; 3)$.

Если $x=2$, то $y = 2(2)^2 - 2(2) + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$. Точка $(2; 7)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Наибольшего значения у функции не существует, так как её значения неограниченно возрастают при $x \to \pm\infty$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{наим} = 2.5$.

Ответ: Наименьшее значение функции: 2.5.

2) $y = -2x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Для построения графика определим координаты вершины параболы.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$

$y_0 = -2(-1)^2 - 4(-1) + 5 = -2(1) + 4 + 5 = -2 + 4 + 5 = 7$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 7)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения графика:

Если $x=0$, то $y = -2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.

Если $x=1$, то $y = -2(1)^2 - 4(1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1$. Точка $(1; -1)$.

Если $x=-2$, то $y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -8 + 8 + 5 = 5$. Точка $(-2; 5)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наименьшего значения у функции не существует, так как её значения неограниченно убывают при $x \to \pm\infty$.

Наибольшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{наиб} = 7$.

Ответ: Наибольшее значение функции: 7.

3) $y = 4 - \sqrt{x-2}$

Графиком данной функции является ветвь параболы. Сначала найдём область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.

График функции получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путём сдвига на 2 единицы вправо по оси Ох и на 4 единицы вверх по оси Оу. Начало ветви параболы находится в точке $(2; y(2))$.

$y(2) = 4 - \sqrt{2-2} = 4 - 0 = 4$. Начальная точка графика — $(2; 4)$.

Найдём ещё несколько точек:

Если $x=3$, то $y = 4 - \sqrt{3-2} = 4 - 1 = 3$. Точка $(3; 3)$.

Если $x=6$, то $y = 4 - \sqrt{6-2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Точка $(6; 2)$.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение, определим область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{x-2} \ge 0$. Умножая на -1, получаем $-\sqrt{x-2} \le 0$. Прибавляя 4, имеем $4 - \sqrt{x-2} \le 4$. Таким образом, $y \le 4$.

Наибольшее значение функции равно 4 и достигается в начальной точке при $x=2$. Наименьшего значения не существует, так как ветвь уходит в минус бесконечность.

Ответ: Наибольшее значение функции: 4.

4) $y = -2 + \sqrt{3-x}$

Графиком данной функции является ветвь параболы. Найдём область определения функции:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; 3]$.

График функции получается из графика $y=\sqrt{-x}$ путём сдвига на 3 единицы вправо по оси Ох и на 2 единицы вниз по оси Оу. Начало ветви параболы находится в точке $(3; y(3))$.

$y(3) = -2 + \sqrt{3-3} = -2 + 0 = -2$. Начальная точка графика — $(3; -2)$.

Найдём ещё несколько точек:

Если $x=2$, то $y = -2 + \sqrt{3-2} = -2 + 1 = -1$. Точка $(2; -1)$.

Если $x=-1$, то $y = -2 + \sqrt{3-(-1)} = -2 + \sqrt{4} = -2 + 2 = 0$. Точка $(-1; 0)$.

Определим область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{3-x} \ge 0$. Прибавляя -2, получаем $-2 + \sqrt{3-x} \ge -2$. Таким образом, $y \ge -2$.

Наименьшее значение функции равно -2 и достигается в начальной точке при $x=3$. Наибольшего значения не существует, так как ветвь уходит в плюс бесконечность.

Ответ: Наименьшее значение функции: -2.

Почему выражение $2x^2 - \frac{1}{x} + 7$ не является многочленом?

Для того чтобы понять, почему выражение $2x^2 - \frac{1}{x} + 7$ не является многочленом, необходимо обратиться к определению многочлена.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Ключевое свойство одночлена заключается в том, что он является произведением числа (коэффициента) и переменных, возведенных в целые неотрицательные степени (то есть 0, 1, 2, 3 и т.д.). Это означает, что в многочленах не допускается деление на переменную.

Теперь проанализируем каждый член в выражении $2x^2 - \frac{1}{x} + 7$:

1. Член $2x^2$ является одночленом. Здесь переменная $x$ возведена в степень 2, а 2 — это целое неотрицательное число.

2. Член $7$ (свободный член) также является одночленом. Его можно представить как $7x^0$. Степень 0 также является целым неотрицательным числом.

3. Член $-\frac{1}{x}$ нарушает это правило. Он содержит операцию деления на переменную $x$. Используя свойства степеней, мы можем переписать этот член как $-x^{-1}$.

В выражении $-x^{-1}$ переменная $x$ возведена в степень -1. Так как -1 — это отрицательное число, данный член не является одночленом.

Поскольку выражение $2x^2 - \frac{1}{x} + 7$ содержит член, который не является одночленом, всё это выражение не является многочленом.

Ответ: Выражение не является многочленом, так как оно содержит член $-\frac{1}{x}$, в котором происходит деление на переменную. Это эквивалентно возведению переменной $x$ в отрицательную степень (-1), что недопустимо по определению многочлена, согласно которому все переменные должны иметь только целые неотрицательные степени.