Страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

31. На рисунке 5 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. $D = b^2-4ac$. Найдите верные неравенства:

а) $ac > 0$;
б) $Dc > 0$;
в) $Db > 0$;
г) $bc > 0$;
д) $aD > 0$.

а) $ab > 0$;
б) $Dc > 0$;
в) $Db > 0$;
г) $bc > 0$;
д) $aD > 0$.

Рис. 5

Для решения задачи проанализируем каждый график отдельно, определяя знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$ и дискриминанта $D$ по виду параболы.

1) Анализируем график на рисунке 1:

• Ветви параболы направлены вверх, это означает, что старший коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
• График пересекает ось ординат (ось $y$) в точке выше начала координат. Значение функции при $x=0$ равно $c$, следовательно, свободный член $c$ положителен: $c > 0$.
• Вершина параболы имеет абсциссу $x_0 = -b/(2a)$. На графике видно, что вершина находится в левой полуплоскости, то есть $x_0 < 0$. Так как мы уже установили, что $a > 0$, из неравенства $-b/(2a) < 0$ следует, что $-b < 0$, а значит $b > 0$.
• Парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$), что означает отсутствие действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это возможно только если дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен: $D < 0$.

Теперь проверим истинность предложенных неравенств для графика 1:

а) $ac > 0$: Поскольку $a > 0$ и $c > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

б) $Dc > 0$: Поскольку $D < 0$ и $c > 0$, их произведение отрицательно ($Dc < 0$). Неравенство неверное.

в) $Db > 0$: Поскольку $D < 0$ и $b > 0$, их произведение отрицательно ($Db < 0$). Неравенство неверное.

г) $bc > 0$: Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

д) $aD > 0$: Поскольку $a > 0$ и $D < 0$, их произведение отрицательно ($aD < 0$). Неравенство неверное.

Ответ: а), г).

2) Анализируем график на рисунке 2:

• Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
• График пересекает ось $y$ в точке ниже начала координат, значит, $c < 0$.
• Вершина параболы с абсциссой $x_0 = -b/(2a)$ находится в правой полуплоскости, то есть $x_0 > 0$. Так как $a > 0$, из неравенства $-b/(2a) > 0$ следует, что $-b > 0$, а значит $b < 0$.
• Парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, и, следовательно, дискриминант $D$ положителен: $D > 0$.

Теперь проверим истинность предложенных неравенств для графика 2:

а) $ab > 0$: Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, их произведение отрицательно ($ab < 0$). Неравенство неверное.

б) $Dc > 0$: Поскольку $D > 0$ и $c < 0$, их произведение отрицательно ($Dc < 0$). Неравенство неверное.

в) $Db > 0$: Поскольку $D > 0$ и $b < 0$, их произведение отрицательно ($Db < 0$). Неравенство неверное.

г) $bc > 0$: Поскольку $b < 0$ и $c < 0$ (оба отрицательные), их произведение положительно. Неравенство верное.

д) $aD > 0$: Поскольку $a > 0$ и $D > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

Ответ: г), д).

32. Вычислите $d$ и $a_n$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = 9,5$; $a_2 = 11,5$; $n = 4$;

2) $a_1 = -21$; $a_2 = -16$; $n = 6$;

3) $a_1 = 23$; $a_2 = 19$; $n = 5$;

4) $a_1 = -2,9$; $a_2 = -4,9$; $n = 7$.

1) Чтобы найти разность арифметической прогрессии $d$, нужно из второго члена вычесть первый. Используем формулу $d = a_2 - a_1$.

$d = 11,5 - 9,5 = 2$.

Для вычисления n-го члена арифметической прогрессии используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам нужно найти $a_4$, так как $n=4$.

$a_4 = a_1 + (4-1)d = 9,5 + 3 \cdot 2 = 9,5 + 6 = 15,5$.

Ответ: $d = 2$; $a_4 = 15,5$.

2) Сначала вычислим разность прогрессии $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$.

$d = -16 - (-21) = -16 + 21 = 5$.

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_6 = a_1 + (6-1)d = -21 + 5 \cdot 5 = -21 + 25 = 4$.

Ответ: $d = 5$; $a_6 = 4$.

3) Вычислим разность прогрессии $d$, используя известные первые два члена: $d = a_2 - a_1$.

$d = 19 - 23 = -4$.

Далее найдем пятый член прогрессии ($n=5$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_5 = a_1 + (5-1)d = 23 + 4 \cdot (-4) = 23 - 16 = 7$.

Ответ: $d = -4$; $a_5 = 7$.

4) Найдем разность арифметической прогрессии $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$.

$d = -4,9 - (-2,9) = -4,9 + 2,9 = -2$.

Теперь вычислим седьмой член прогрессии ($n=7$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_7 = a_1 + (7-1)d = -2,9 + 6 \cdot (-2) = -2,9 - 12 = -14,9$.

Ответ: $d = -2$; $a_7 = -14,9$.

33. 1) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31.

2) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если значение суммы первого и третьего членов равно 49,2, а значение разности первого и третьего членов равно -15,6.

3) Найдите значение суммы первых пяти членов арифметической прогрессии, если $a_2 + a_4 = 3,4$.

1) Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два соотношения:

1) Сумма первого и четвертого членов равна 23: $a_1 + a_4 = 23$.

2) Сумма третьего и шестого членов равна 31: $a_3 + a_6 = 31$.

Выразим $a_3$, $a_4$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$a_1 + (a_1 + 3d) = 23 \Rightarrow 2a_1 + 3d = 23$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 31 \Rightarrow 2a_1 + 7d = 31$

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}2a_1 + 3d = 23 \\2a_1 + 7d = 31\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 7d) - (2a_1 + 3d) = 31 - 23$

$4d = 8$

$d = 2$

Теперь подставим найденное значение $d=2$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 3 \cdot 2 = 23$

$2a_1 + 6 = 23$

$2a_1 = 17$

$a_1 = 8,5$

Ответ: первый член $a_1 = 8,5$, разность $d = 2$.

2) Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи имеем систему уравнений относительно $b_1$ и $b_3$:

$\begin{cases}b_1 + b_3 = 49,2 \\b_1 - b_3 = -15,6\end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $b_1$:

$(b_1 + b_3) + (b_1 - b_3) = 49,2 - 15,6$

$2b_1 = 33,6$

$b_1 = 16,8$

Подставим значение $b_1$ в первое уравнение, чтобы найти $b_3$:

$16,8 + b_3 = 49,2$

$b_3 = 49,2 - 16,8 = 32,4$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу третьего члена $b_3 = b_1 \cdot q^2$:

$32,4 = 16,8 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{32,4}{16,8} = \frac{324}{168}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:

$q^2 = \frac{324 \div 12}{168 \div 12} = \frac{27}{14}$

Отсюда находим возможные значения для $q$:

$q = \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$

Ответ: первый член $b_1 = 16,8$, знаменатель $q = \pm\sqrt{\frac{27}{14}}$.

3) Нам нужно найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, $S_5$. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Для $n=5$ формула принимает вид:

$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + (5-1)d) = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 5(a_1 + 2d)$

По условию задачи известно, что $a_2 + a_4 = 3,4$.

Выразим $a_2$ и $a_4$ через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

Подставим эти выражения в данное равенство:

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 3,4$

$2a_1 + 4d = 3,4$

Теперь мы можем подставить значение выражения $2a_1 + 4d$ в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = \frac{5}{2} \cdot 3,4$

$S_5 = 5 \cdot \frac{3,4}{2} = 5 \cdot 1,7 = 8,5$

Можно также заметить, что $a_2 + a_4 = (a_1+d) + (a_1+3d) = 2(a_1+2d) = 2a_3$. Отсюда $2a_3 = 3,4$, значит, третий член прогрессии $a_3 = 1,7$. Для нечетного числа членов сумма равна произведению числа членов на средний член: $S_5 = 5 \cdot a_3 = 5 \cdot 1,7 = 8,5$.

Ответ: $S_5 = 8,5$.

34. Найдите $n$ и $S_m$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = -35$; $a_n = -15$; $d = 5$ и $m = 6$;

2) $a_3 = -6,6$; $a_n = -7,3$; $d = 0,7$ и $m = 20$.

1) Дано: $a_1 = -35$; $a_n = -15$; $d = 5$ и $m = 6$.

Для нахождения номера члена $n$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:

$-15 = -35 + (n-1) \cdot 5$

Перенесем $-35$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$35 - 15 = 5(n-1)$

$20 = 5(n-1)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$4 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Теперь найдем сумму первых $m=6$ членов прогрессии, то есть $S_6$. Воспользуемся формулой суммы первых $m$ членов: $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.

Подставим значения $a_1 = -35$, $d = 5$ и $m = 6$:

$S_6 = \frac{2 \cdot (-35) + (6-1) \cdot 5}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-70 + 5 \cdot 5}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-70 + 25}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{-45}{2} \cdot 6$

$S_6 = -45 \cdot 3 = -135$

Ответ: $n=5$, $S_6=-135$.

2) Дано: $a_3 = -6,6$; $a_n = -7,3$; $d = 0,7$ и $m = 20$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Используем формулу n-го члена $a_k = a_1 + (k-1)d$ для $k=3$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d$

Подставим известные значения $a_3 = -6,6$ и $d = 0,7$:

$-6,6 = a_1 + 2 \cdot 0,7$

$-6,6 = a_1 + 1,4$

Выразим $a_1$:

$a_1 = -6,6 - 1,4 = -8$

Теперь, зная $a_1 = -8$, мы можем найти номер $n$ для члена $a_n = -7,3$, используя ту же формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$-7,3 = -8 + (n-1) \cdot 0,7$

Перенесем $-8$ в левую часть:

$8 - 7,3 = (n-1) \cdot 0,7$

$0,7 = (n-1) \cdot 0,7$

Разделим обе части на 0,7:

$1 = n-1$

$n = 1 + 1 = 2$

Наконец, вычислим сумму первых $m=20$ членов, $S_{20}$, по формуле $S_m = \frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m$.

Подставим $a_1 = -8$, $d = 0,7$ и $m = 20$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + (20-1) \cdot 0,7}{2} \cdot 20$

Сократим дробь на 2:

$S_{20} = (2 \cdot (-8) + 19 \cdot 0,7) \cdot 10$

$S_{20} = (-16 + 13,3) \cdot 10$

$S_{20} = -2,7 \cdot 10 = -27$

Ответ: $n=2$, $S_{20}=-27$.

35. Найдите $a_1$, если:

1) $d = -20; S_4 = 300;$

2) $d = 20; S_6 = 60;$

3) $d = 25; S_7 = 224.$

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

По условию дано: $d = -20$, $S_4 = 300$. В данном случае $n = 4$.

Подставим известные значения в формулу:

$300 = \frac{2a_1 + (-20)(4-1)}{2} \cdot 4$

$300 = \frac{2a_1 - 20 \cdot 3}{2} \cdot 4$

$300 = (2a_1 - 60) \cdot 2$

$300 = 4a_1 - 120$

Теперь выразим $4a_1$:

$4a_1 = 300 + 120$

$4a_1 = 420$

Находим $a_1$:

$a_1 = \frac{420}{4}$

$a_1 = 105$

Ответ: $a_1 = 105$.

2) Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

По условию дано: $d = 20$, $S_6 = 60$. В данном случае $n = 6$.

Подставим известные значения в формулу:

$60 = \frac{2a_1 + 20(6-1)}{2} \cdot 6$

$60 = \frac{2a_1 + 20 \cdot 5}{2} \cdot 6$

$60 = (2a_1 + 100) \cdot 3$

$60 = 6a_1 + 300$

Теперь выразим $6a_1$:

$6a_1 = 60 - 300$

$6a_1 = -240$

Находим $a_1$:

$a_1 = \frac{-240}{6}$

$a_1 = -40$

Ответ: $a_1 = -40$.

3) Снова используем формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

По условию дано: $d = 25$, $S_7 = 224$. В данном случае $n = 7$.

Подставим известные значения в формулу:

$224 = \frac{2a_1 + 25(7-1)}{2} \cdot 7$

$224 = \frac{2a_1 + 25 \cdot 6}{2} \cdot 7$

$224 = \frac{2a_1 + 150}{2} \cdot 7$

Разделим обе части уравнения на 7:

$32 = \frac{2a_1 + 150}{2}$

Умножим обе части на 2:

$64 = 2a_1 + 150$

Теперь выразим $2a_1$:

$2a_1 = 64 - 150$

$2a_1 = -86$

Находим $a_1$:

$a_1 = \frac{-86}{2}$

$a_1 = -43$

Ответ: $a_1 = -43$.

36. Вычислите $q$, $b_n$ и $S_n$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = 0.7$; $b_3 = 2.8$; $n = 6$;

2) $b_1 = 0.6$; $b_2 = 1.8$; $n = 5$;

3) $b_1 = -0.2$; $b_2 = 1.4$; $n = 4$;

1) Дано: $b_1 = 0,7$; $b_3 = 2,8$; $n = 6$.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$2,8 = 0,7 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{2,8}{0,7} = 4$

Это уравнение имеет два возможных решения для $q$: $q = 2$ и $q = -2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$

Вычислим шестой член прогрессии ($b_6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 0,7 \cdot 2^5 = 0,7 \cdot 32 = 22,4$.

Вычислим сумму первых шести членов ($S_6$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{0,7(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{0,7(64 - 1)}{1} = 0,7 \cdot 63 = 44,1$.

Случай 2: $q = -2$

Вычислим шестой член прогрессии ($b_6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 0,7 \cdot (-2)^5 = 0,7 \cdot (-32) = -22,4$.

Вычислим сумму первых шести членов ($S_6$):

$S_6 = \frac{0,7((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{0,7(64 - 1)}{-3} = \frac{0,7 \cdot 63}{-3} = \frac{44,1}{-3} = -14,7$.

Ответ: задача имеет два решения: 1) $q = 2, b_6 = 22,4, S_6 = 44,1$; 2) $q = -2, b_6 = -22,4, S_6 = -14,7$.

2) Дано: $b_1 = 0,6$; $b_2 = 1,8$; $n = 5$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ из соотношения $b_2 = b_1 \cdot q$.

$1,8 = 0,6 \cdot q$

$q = \frac{1,8}{0,6} = 3$.

Теперь вычислим пятый член прогрессии ($b_5$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_5 = 0,6 \cdot 3^{5-1} = 0,6 \cdot 3^4 = 0,6 \cdot 81 = 48,6$.

Вычислим сумму первых пяти членов ($S_5$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{0,6(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{0,6(243 - 1)}{2} = \frac{0,6 \cdot 242}{2} = 0,3 \cdot 242 = 72,6$.

Ответ: $q = 3, b_5 = 48,6, S_5 = 72,6$.

3) Дано: $b_1 = -0,2$; $b_2 = 1,4$; $n = 4$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ из соотношения $b_2 = b_1 \cdot q$.

$1,4 = -0,2 \cdot q$

$q = \frac{1,4}{-0,2} = -7$.

Теперь вычислим четвертый член прогрессии ($b_4$) по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_4 = -0,2 \cdot (-7)^{4-1} = -0,2 \cdot (-7)^3 = -0,2 \cdot (-343) = 68,6$.

Вычислим сумму первых четырех членов ($S_4$) по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_4 = \frac{-0,2((-7)^4 - 1)}{-7 - 1} = \frac{-0,2(2401 - 1)}{-8} = \frac{-0,2 \cdot 2400}{-8} = \frac{-480}{-8} = 60$.

Ответ: $q = -7, b_4 = 68,6, S_4 = 60$.

37. Найдите $b_1$ и $S_5$ геометрической прогрессии, если:

1) $b_3 = \frac{9}{8}; q = -\frac{3}{4};$

2) $b_5 = -16; q = \frac{2}{3};$

3) $b_4 = 12,5; q = -\frac{5}{6}.$

1) Дано: $b_3 = \frac{9}{8}$, $q = -\frac{3}{4}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Для $n=3$ формула выглядит так:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Отсюда можно выразить $b_1$:

$b_1 = \frac{b_3}{q^2}$

Теперь подставим известные значения $b_3$ и $q$:

$b_1 = \frac{\frac{9}{8}}{(-\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{8} = 2$.

Далее найдем сумму первых пяти членов прогрессии, $S_5$. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=5$, $b_1=2$ и $q = -\frac{3}{4}$:

$S_5 = \frac{2(1-(-\frac{3}{4})^5)}{1-(-\frac{3}{4})}$

Вычислим степень $q^5$:

$(-\frac{3}{4})^5 = -\frac{3^5}{4^5} = -\frac{243}{1024}$

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_5 = \frac{2(1-(-\frac{243}{1024}))}{1+\frac{3}{4}} = \frac{2(1+\frac{243}{1024})}{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}} = \frac{2(\frac{1024+243}{1024})}{\frac{7}{4}} = \frac{2 \cdot \frac{1267}{1024}}{\frac{7}{4}}$

Для вычисления выполним деление дробей:

$S_5 = 2 \cdot \frac{1267}{1024} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 1267 \cdot 4}{1024 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 1267}{1024 \cdot 7}$

Сократим дробь на 8:

$S_5 = \frac{1267}{128 \cdot 7}$

Проверим, делится ли 1267 на 7: $1267 \div 7 = 181$.

$S_5 = \frac{181 \cdot 7}{128 \cdot 7} = \frac{181}{128}$.

Ответ: $b_1=2$, $S_5=\frac{181}{128}$.

2) Дано: $b_5 = -16$, $q = \frac{2}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ при $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$b_1 = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{-16}{(\frac{2}{3})^4} = \frac{-16}{\frac{16}{81}} = -16 \cdot \frac{81}{16} = -81$.

Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5 = \frac{-81(1-(\frac{2}{3})^5)}{1-\frac{2}{3}}$

Вычислим $q^5$:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Подставим в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-81(1-\frac{32}{243})}{1-\frac{2}{3}} = \frac{-81(\frac{243-32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{-81 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -81 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = -81 \cdot \frac{211}{81} = -211$.

Ответ: $b_1=-81$, $S_5=-211$.

3) Дано: $b_4 = 12,5$, $q = -\frac{5}{6}$.

Для удобства вычислений представим $12,5$ в виде обыкновенной дроби: $12,5 = \frac{25}{2}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ при $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{\frac{25}{2}}{(-\frac{5}{6})^3} = \frac{\frac{25}{2}}{-\frac{125}{216}} = -\frac{25}{2} \cdot \frac{216}{125} = -\frac{25 \cdot 216}{2 \cdot 125}$

Сократим дробь:

$b_1 = -\frac{1 \cdot 108}{1 \cdot 5} = -\frac{108}{5}$.

Найдем сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5 = \frac{-\frac{108}{5}(1-(-\frac{5}{6})^5)}{1-(-\frac{5}{6})}$

Вычислим $q^5$:

$(-\frac{5}{6})^5 = -\frac{5^5}{6^5} = -\frac{3125}{7776}$

Подставим в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-\frac{108}{5}(1-(-\frac{3125}{7776}))}{1+\frac{5}{6}} = \frac{-\frac{108}{5}(1+\frac{3125}{7776})}{\frac{11}{6}} = \frac{-\frac{108}{5} \cdot \frac{7776+3125}{7776}}{\frac{11}{6}} = \frac{-\frac{108}{5} \cdot \frac{10901}{7776}}{\frac{11}{6}}$

Выполним вычисления:

$S_5 = -\frac{108}{5} \cdot \frac{10901}{7776} \cdot \frac{6}{11} = -\frac{108 \cdot 10901 \cdot 6}{5 \cdot 7776 \cdot 11}$

Сократим выражение, зная, что $7776 = 12 \cdot 6 \cdot 108$:

$S_5 = -\frac{108 \cdot 10901 \cdot 6}{5 \cdot (12 \cdot 6 \cdot 108) \cdot 11} = -\frac{10901}{5 \cdot 12 \cdot 11} = -\frac{10901}{660}$

Проверим, делится ли 10901 на 11: $10901 \div 11 = 991$.

$S_5 = -\frac{991 \cdot 11}{60 \cdot 11} = -\frac{991}{60}$.

Ответ: $b_1=-\frac{108}{5}$, $S_5=-\frac{991}{60}$.

1. Приведите пример многочлена с одной переменной четвертой степени.

2. Какой многочлен не имеет степени?

3. Может ли равняться нулю: а) свободный член многочлена; б) старший коэффициент многочлена; в) степень многочлена?

4. Какие действия можно выполнять над многочленами?

5. Всегда ли один многочлен делится на другой?

6. Всегда ли можно выполнить деление одного многочлена на другой многочлен?

1. Приведите пример многочлена с одной переменной четвертой степени.

Многочлен с одной переменной четвертой степени — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна четырем. Общий вид такого многочлена: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, где $a, b, c, d, e$ — некоторые числа (коэффициенты), и обязательно $a \neq 0$.

Примером такого многочлена может служить $P(x) = 3x^4 - 7x^2 + 5x - 1$. Здесь старший член — $3x^4$, его степень равна 4, а старший коэффициент равен 3.

Ответ: $3x^4 - 7x^2 + 5x - 1$.

2. Какой многочлен не имеет степени?

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней его одночленов (членов) с ненулевыми коэффициентами. Единственный многочлен, который не удовлетворяет этому определению, — это нулевой многочлен, то есть многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю: $P(x) = 0$.

Так как у этого многочлена нет членов с ненулевыми коэффициентами, то и выбрать среди них член с наибольшей степенью невозможно. Поэтому степень нулевого многочлена считается неопределенной. Для любого другого постоянного многочлена, например $P(x) = 5$, степень равна нулю, так как его можно записать в виде $5x^0$.

Ответ: Нулевой многочлен ($P(x) = 0$).

3. Может ли равняться нулю: а) свободный член многочлена; б) старший коэффициент многочлена; в) степень многочлена?

а) свободный член многочлена

Да, может. Свободный член — это член многочлена, не содержащий переменной (или, что то же самое, коэффициент при переменной в нулевой степени). Если он равен нулю, это просто означает, что график функции проходит через начало координат. Например, в многочлене $P(x) = 2x^3 - x$ свободный член равен 0.

Ответ: Да, может.

б) старший коэффициент многочлена

Нет, не может. Старший коэффициент — это коэффициент при члене с самой высокой степенью, которая и определяет степень всего многочлена. По определению, этот коэффициент должен быть отличен от нуля. Если бы он был равен нулю, то этот член не рассматривался бы, а старшим стал бы другой член — со следующей по убыванию степенью.

Ответ: Нет, не может.

в) степень многочлена

Да, может. Любой ненулевой многочлен-константа имеет нулевую степень. Например, многочлен $P(x) = 12$ можно представить как $12x^0$. Наибольшая степень переменной в этом многочлене равна 0.

Ответ: Да, может.

4. Какие действия можно выполнять над многочленами?

Над многочленами можно выполнять стандартные арифметические и алгебраические действия. Основные из них: сложение, вычитание, умножение, деление с остатком и возведение в натуральную степень.

• При сложении и вычитании многочленов складываются или вычитаются их соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
• При умножении каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого, а затем приводятся подобные слагаемые.
• Деление с остатком одного многочлена на другой (не равный нулю) всегда возможно и в результате дает два многочлена: частное и остаток.
• Возведение в натуральную степень является частным случаем умножения многочлена на самого себя заданное количество раз.

Ответ: Сложение, вычитание, умножение, деление с остатком, возведение в натуральную степень.

5. Всегда ли один многочлен делится на другой?

Нет, не всегда. Под "делится" обычно понимают деление без остатка (нацело). Один многочлен делится нацело на другой только в том случае, если в результате деления остаток равен нулю. Это аналогично делению целых чисел: 15 делится на 3, но не делится на 4.

Например, многочлен $P(x) = x^2 - 4$ делится на $Q(x) = x - 2$, потому что $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, и остаток равен 0. Однако многочлен $A(x) = x^2 + 4$ не делится нацело на $Q(x) = x - 2$. При делении $A(x)$ на $Q(x)$ получится частное $x+2$ и остаток 8.

Ответ: Нет, не всегда.

6. Всегда ли можно выполнить деление одного многочлена на другой многочлен?

Да, всегда, если многочлен-делитель не является нулевым многочленом. Эта операция называется делением с остатком. Теорема о делении многочленов утверждает, что для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x) \neq 0$, существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такие, что выполняется равенство: $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$. При этом степень остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени делителя $B(x)$, либо остаток $R(x)$ равен нулю.

Таким образом, сама алгоритмическая процедура деления выполнима всегда (кроме деления на ноль), даже если деление нацело невозможно.

Ответ: Да, всегда, если делитель не является нулевым многочленом (такая операция называется делением с остатком).

31.1. Найдите значение суммы многочленов $f(x)$ и $h(x)$:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$ и $h(x) = 3x^2 - x - 6$ при $x = 2; 3; -1;$

2) $f(x) = -x^3 - 5x^2 + 3$ и $h(x) = 2x^4 - x^2 - 2$ при $x = -2; -1; 2;$

3) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 1$ и $h(x) = x^2 - 3x - 1$ при $x = 2; 3; -1;$

4) $f(x) = -x^3 - 4x^2 - 3$ и $h(x) = -x^3 - x - 3$ при $x = 2; 3; -1.$

1) Чтобы найти значение суммы многочленов, сначала сложим их и упростим полученное выражение.

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$ и $h(x) = 3x^2 - x - 6$.

$f(x) + h(x) = (2x^3 - 3x^2 + 5) + (3x^2 - x - 6) = 2x^3 - 3x^2 + 3x^2 - x + 5 - 6 = 2x^3 - x - 1$.

Теперь подставим заданные значения $x$ в полученный многочлен:

При $x = 2$: $2 \cdot (2)^3 - 2 - 1 = 2 \cdot 8 - 3 = 16 - 3 = 13$.

При $x = 3$: $2 \cdot (3)^3 - 3 - 1 = 2 \cdot 27 - 4 = 54 - 4 = 50$.

При $x = -1$: $2 \cdot (-1)^3 - (-1) - 1 = 2 \cdot (-1) + 1 - 1 = -2 + 0 = -2$.

Ответ: 13; 50; -2.

2) Сначала найдем сумму многочленов.

$f(x) = -x^3 - 5x^2 + 3$ и $h(x) = 2x^4 - x^2 - 2$.

$f(x) + h(x) = (-x^3 - 5x^2 + 3) + (2x^4 - x^2 - 2) = 2x^4 - x^3 - 5x^2 - x^2 + 3 - 2 = 2x^4 - x^3 - 6x^2 + 1$.

Теперь подставим заданные значения $x$:

При $x = -2$: $2(-2)^4 - (-2)^3 - 6(-2)^2 + 1 = 2 \cdot 16 - (-8) - 6 \cdot 4 + 1 = 32 + 8 - 24 + 1 = 17$.

При $x = -1$: $2(-1)^4 - (-1)^3 - 6(-1)^2 + 1 = 2 \cdot 1 - (-1) - 6 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 - 6 + 1 = -2$.

При $x = 2$: $2(2)^4 - (2)^3 - 6(2)^2 + 1 = 2 \cdot 16 - 8 - 6 \cdot 4 + 1 = 32 - 8 - 24 + 1 = 1$.

Ответ: 17; -2; 1.

3) Сначала найдем сумму многочленов.

$f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 1$ и $h(x) = x^2 - 3x - 1$.

$f(x) + h(x) = (5x^4 - 3x^2 + 1) + (x^2 - 3x - 1) = 5x^4 - 3x^2 + x^2 - 3x + 1 - 1 = 5x^4 - 2x^2 - 3x$.

Теперь подставим заданные значения $x$:

При $x = 2$: $5(2)^4 - 2(2)^2 - 3(2) = 5 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 6 = 80 - 8 - 6 = 66$.

При $x = 3$: $5(3)^4 - 2(3)^2 - 3(3) = 5 \cdot 81 - 2 \cdot 9 - 9 = 405 - 18 - 9 = 378$.

При $x = -1$: $5(-1)^4 - 2(-1)^2 - 3(-1) = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (-3) = 5 - 2 + 3 = 6$.

Ответ: 66; 378; 6.

4) Сначала найдем сумму многочленов.

$f(x) = -x^3 - 4x^2 - 3$ и $h(x) = -x^3 - x - 3$.

$f(x) + h(x) = (-x^3 - 4x^2 - 3) + (-x^3 - x - 3) = -x^3 - x^3 - 4x^2 - x - 3 - 3 = -2x^3 - 4x^2 - x - 6$.

Теперь подставим заданные значения $x$:

При $x = 2$: $-2(2)^3 - 4(2)^2 - 2 - 6 = -2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 - 2 - 6 = -16 - 16 - 2 - 6 = -40$.

При $x = 3$: $-2(3)^3 - 4(3)^2 - 3 - 6 = -2 \cdot 27 - 4 \cdot 9 - 9 = -54 - 36 - 9 = -99$.

При $x = -1$: $-2(-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) - 6 = -2(-1) - 4(1) + 1 - 6 = 2 - 4 + 1 - 6 = -7$.

Ответ: -40; -99; -7.