Вопросы, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример многочлена с одной переменной четвертой степени.

2. Какой многочлен не имеет степени?

3. Может ли равняться нулю: а) свободный член многочлена; б) старший коэффициент многочлена; в) степень многочлена?

4. Какие действия можно выполнять над многочленами?

5. Всегда ли один многочлен делится на другой?

6. Всегда ли можно выполнить деление одного многочлена на другой многочлен?

1. Приведите пример многочлена с одной переменной четвертой степени.

Многочлен с одной переменной четвертой степени — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна четырем. Общий вид такого многочлена: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, где $a, b, c, d, e$ — некоторые числа (коэффициенты), и обязательно $a \neq 0$.

Примером такого многочлена может служить $P(x) = 3x^4 - 7x^2 + 5x - 1$. Здесь старший член — $3x^4$, его степень равна 4, а старший коэффициент равен 3.

Ответ: $3x^4 - 7x^2 + 5x - 1$.

2. Какой многочлен не имеет степени?

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней его одночленов (членов) с ненулевыми коэффициентами. Единственный многочлен, который не удовлетворяет этому определению, — это нулевой многочлен, то есть многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю: $P(x) = 0$.

Так как у этого многочлена нет членов с ненулевыми коэффициентами, то и выбрать среди них член с наибольшей степенью невозможно. Поэтому степень нулевого многочлена считается неопределенной. Для любого другого постоянного многочлена, например $P(x) = 5$, степень равна нулю, так как его можно записать в виде $5x^0$.

Ответ: Нулевой многочлен ($P(x) = 0$).

3. Может ли равняться нулю: а) свободный член многочлена; б) старший коэффициент многочлена; в) степень многочлена?

а) свободный член многочлена

Да, может. Свободный член — это член многочлена, не содержащий переменной (или, что то же самое, коэффициент при переменной в нулевой степени). Если он равен нулю, это просто означает, что график функции проходит через начало координат. Например, в многочлене $P(x) = 2x^3 - x$ свободный член равен 0.

Ответ: Да, может.

б) старший коэффициент многочлена

Нет, не может. Старший коэффициент — это коэффициент при члене с самой высокой степенью, которая и определяет степень всего многочлена. По определению, этот коэффициент должен быть отличен от нуля. Если бы он был равен нулю, то этот член не рассматривался бы, а старшим стал бы другой член — со следующей по убыванию степенью.

Ответ: Нет, не может.

в) степень многочлена

Да, может. Любой ненулевой многочлен-константа имеет нулевую степень. Например, многочлен $P(x) = 12$ можно представить как $12x^0$. Наибольшая степень переменной в этом многочлене равна 0.

Ответ: Да, может.

4. Какие действия можно выполнять над многочленами?

Над многочленами можно выполнять стандартные арифметические и алгебраические действия. Основные из них: сложение, вычитание, умножение, деление с остатком и возведение в натуральную степень.

• При сложении и вычитании многочленов складываются или вычитаются их соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
• При умножении каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого, а затем приводятся подобные слагаемые.
• Деление с остатком одного многочлена на другой (не равный нулю) всегда возможно и в результате дает два многочлена: частное и остаток.
• Возведение в натуральную степень является частным случаем умножения многочлена на самого себя заданное количество раз.

Ответ: Сложение, вычитание, умножение, деление с остатком, возведение в натуральную степень.

5. Всегда ли один многочлен делится на другой?

Нет, не всегда. Под "делится" обычно понимают деление без остатка (нацело). Один многочлен делится нацело на другой только в том случае, если в результате деления остаток равен нулю. Это аналогично делению целых чисел: 15 делится на 3, но не делится на 4.

Например, многочлен $P(x) = x^2 - 4$ делится на $Q(x) = x - 2$, потому что $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, и остаток равен 0. Однако многочлен $A(x) = x^2 + 4$ не делится нацело на $Q(x) = x - 2$. При делении $A(x)$ на $Q(x)$ получится частное $x+2$ и остаток 8.

Ответ: Нет, не всегда.

6. Всегда ли можно выполнить деление одного многочлена на другой многочлен?

Да, всегда, если многочлен-делитель не является нулевым многочленом. Эта операция называется делением с остатком. Теорема о делении многочленов утверждает, что для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x) \neq 0$, существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такие, что выполняется равенство: $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$. При этом степень остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени делителя $B(x)$, либо остаток $R(x)$ равен нулю.

Таким образом, сама алгоритмическая процедура деления выполнима всегда (кроме деления на ноль), даже если деление нацело невозможно.

Ответ: Да, всегда, если делитель не является нулевым многочленом (такая операция называется делением с остатком).