Номер 30.14, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.14. Методом интервалов решите неравенство:

1) $(x+4)(x-3)(x+2)^2 \ge 0;$

2) $(2x-3)(x+6)(3x-6)^3 \le 0;$

3) $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x-3} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x + 4)(x - 3)(x + 2)^2 \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 4)(x - 3)(x + 2)^2$. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$ (корень кратности 1, знак меняется)

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$ (корень кратности 1, знак меняется)

$(x + 2)^2 = 0 \implies x_3 = -2$ (корень кратности 2, четная, знак не меняется)

Отметим найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут закрашенными.

Определим знак функции в крайнем правом интервале (при $x > 3$). Возьмем пробную точку $x=4$:

$(4 + 4)(4 - 3)(4 + 2)^2 = 8 \cdot 1 \cdot 6^2 > 0$. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ функция положительна.

Далее, двигаясь справа налево по оси, расставим знаки в остальных интервалах:

• При переходе через точку $x=3$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «-».
• При переходе через точку $x=-2$ (корень четной кратности) знак не меняется и остается «-».
• При переходе через точку $x=-4$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «+».

Получаем следующую расстановку знаков: $(+)\ [-4]\ (-)\ [-2]\ (-)\ [3]\ (+)$.

Нас интересуют промежутки, где $f(x) \ge 0$. Это промежутки со знаком «+», а также точки, где функция равна нулю.

Решением являются интервалы $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$, а также изолированная точка $x=-2$, в которой выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-2\} \cup [3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(2x - 3)(x + 6)(3x - 6)^3 \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = (2x - 3)(x + 6)(3x - 6)^3$.

$2x - 3 = 0 \implies x_1 = 1.5$ (корень кратности 1, знак меняется)

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$ (корень кратности 1, знак меняется)

$(3x - 6)^3 = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x_3 = 2$ (корень кратности 3, нечетная, знак меняется)

Все корни имеют нечетную кратность, значит, при переходе через каждую точку знак функции будет меняться.

Отметим точки $-6, 1.5, 2$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому все точки закрашенные.

Определим знак функции в крайнем правом интервале (при $x > 2$). Возьмем пробную точку $x=3$:

$(2 \cdot 3 - 3)(3 + 6)(3 \cdot 3 - 6)^3 = 3 \cdot 9 \cdot 3^3 > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево и чередуя знаки, получаем: $(-) [-6] (+) [1.5] (-) [2] (+)$.

Нас интересуют промежутки, где $f(x) \le 0$. Это промежутки со знаком «-» и точки, где функция равна нулю.

Решением являются интервалы $(-\infty; -6]$ и $[1.5; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [1.5; 2]$.

3) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x - 3} \le 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$.

Перепишем неравенство в разложенном виде: $\frac{2(x-1)(x-1.5)}{x-3} \le 0$.

Отметим точки на числовой оси. Точки $x=1$ и $x=1.5$ (нули числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Точка $x=3$ (нуль знаменателя) будет выколотой, так как на ноль делить нельзя.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знак будет меняться при переходе через каждую точку.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале (при $x > 3$). Возьмем пробную точку $x=4$:

$\frac{2(4-1)(4-1.5)}{4-3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2.5}{1} > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево и чередуя знаки, получаем: $(-) [1] (+) [1.5] (-) (3) (+)$.

Нас интересуют промежутки, где выражение $\le 0$. Это промежутки со знаком «-» и закрашенные точки.

Решением являются интервалы $(-\infty; 1]$ и $[1.5; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [1.5; 3)$.