Номер 30.10, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.10. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(ax - 3y)(x^2 - py^2);$

2) $(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2)$.

Найдите значения параметров $a$ и $p$ так, чтобы полученный многочлен с переменными $x$ и $y$ был симметрическим.

1) Сначала представим выражение $(ax - 3y)(x^2 - py^2)$ в виде многочлена. Для этого раскроем скобки:

$(ax - 3y)(x^2 - py^2) = ax \cdot x^2 + ax \cdot (-py^2) - 3y \cdot x^2 - 3y \cdot (-py^2) = ax^3 - apxy^2 - 3x^2y + 3py^3$.

Сгруппируем члены, чтобы получить многочлен $P(x, y)$:

$P(x, y) = ax^3 + 3py^3 - 3x^2y - apxy^2$.

Многочлен с переменными $x$ и $y$ называется симметрическим, если он не изменяется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$, то есть $P(x, y) = P(y, x)$.

Найдем $P(y, x)$, подставив $y$ вместо $x$ и $x$ вместо $y$ в исходный многочлен:

$P(y, x) = a(y)^3 + 3p(x)^3 - 3(y)^2(x) - ap(y)(x)^2 = ay^3 + 3px^3 - 3xy^2 - apx^2y$.

Чтобы многочлен был симметрическим, должно выполняться равенство $P(x, y) = P(y, x)$:

$ax^3 + 3py^3 - 3x^2y - apxy^2 = 3px^3 + ay^3 - apx^2y - 3xy^2$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих одночленах:

• При $x^3$: $a = 3p$
• При $y^3$: $3p = a$
• При $x^2y$: $-3 = -ap$ , что равносильно $ap = 3$
• При $xy^2$: $-ap = -3$ , что также равносильно $ap = 3$

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a = 3p \\ ap = 3 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(3p) \cdot p = 3$

$3p^2 = 3$

$p^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p = 1$ и $p = -1$.

1. Если $p = 1$, то $a = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Если $p = -1$, то $a = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: $a = 3, p = 1$ или $a = -3, p = -1$.

2) Представим выражение $(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2)$ в виде многочлена, раскрыв скобки:

$(ax + 5y)(y^2 - xy + px^2) = ax \cdot y^2 + ax \cdot (-xy) + ax \cdot (px^2) + 5y \cdot y^2 + 5y \cdot (-xy) + 5y \cdot (px^2)$

$= axy^2 - ax^2y + apx^3 + 5y^3 - 5xy^2 + 5px^2y$.

Сгруппируем члены, чтобы получить многочлен $P(x, y)$:

$P(x, y) = apx^3 + 5y^3 + (5p - a)x^2y + (a - 5)xy^2$.

Для того чтобы многочлен был симметрическим, должно выполняться условие $P(x, y) = P(y, x)$.

Найдем $P(y, x)$:

$P(y, x) = ap(y)^3 + 5(x)^3 + (5p - a)(y)^2(x) + (a - 5)(y)(x)^2 = apy^3 + 5x^3 + (5p - a)xy^2 + (a - 5)x^2y$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих одночленах в $P(x, y)$ и $P(y, x)$:

• При $x^3$: $ap = 5$
• При $y^3$: $5 = ap$
• При $x^2y$: $5p - a = a - 5$
• При $xy^2$: $a - 5 = 5p - a$

Получаем систему из двух различных уравнений:

$\begin{cases} ap = 5 \\ 5p - a = a - 5 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$5p + 5 = 2a$

$a = \frac{5p + 5}{2}$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(\frac{5p + 5}{2}) \cdot p = 5$

$(5p + 5)p = 10$

$5p^2 + 5p - 10 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$p^2 + p - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложение на множители:

$(p + 2)(p - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p = 1$ и $p = -2$.

1. Если $p = 1$, то из уравнения $ap=5$ находим $a \cdot 1 = 5$, откуда $a = 5$.

2. Если $p = -2$, то из уравнения $ap=5$ находим $a \cdot (-2) = 5$, откуда $a = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $a = 5, p = 1$ или $a = -\frac{5}{2}, p = -2$.