Номер 30.9, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.9. Замените (*) и (**) такими одночленами, чтобы стало симметрическим многочленом выражение:

1) $x^4 - (*) - (**) + y^4$;

2) $yx^7 - (*) - (**) + xy^7$;

3) $5y^2x^7 - 6(*) - (**) + 5x^2y^7$.

Симметрический многочлен от двух переменных $x$ и $y$ — это многочлен, который не изменяется при перестановке переменных $x$ и $y$. То есть, если $P(x, y)$ — симметрический многочлен, то $P(x, y) = P(y, x)$. Чтобы сделать данные выражения симметрическими, нужно заменить пропуски `(*)` и `(**)` такими одночленами, чтобы получившийся многочлен удовлетворял этому условию.

1) $x^4 - (*) - (**) + y^4$

Запишем выражение в виде $P(x, y) = (x^4 + y^4) - ( (*) + (**) )$. Сумма $x^4 + y^4$ является симметрической, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ она не меняется: $y^4 + x^4 = x^4 + y^4$. Следовательно, чтобы весь многочлен $P(x, y)$ был симметрическим, сумма одночленов $S(x, y) = (*) + (**)$ также должна быть симметрической.

Будем предполагать, что итоговый многочлен является однородным, то есть все его члены имеют одинаковую суммарную степень. Так как степень $x^4$ и $y^4$ равна 4, то искомые одночлены `(*)` и `(**)` также должны иметь степень 4.

Самый простой способ составить симметрическую сумму из двух одночленов — это взять пару "симметричных" одночленов вида $ax^k y^l$ и $ax^l y^k$, где $k \neq l$. Их сумма $a(x^k y^l + x^l y^k)$ очевидно симметрична. Возьмем коэффициент $a=1$ для простоты. Нам нужно, чтобы суммарная степень была 4, то есть $k+l=4$. Подходит пара натуральных чисел $k=3$ и $l=1$.

Таким образом, мы можем заменить `(*)` на $x^3y$, а `(**)` на $xy^3$.

Проверим полученное выражение: $P(x, y) = x^4 - x^3y - xy^3 + y^4$.

При замене переменных $x \leftrightarrow y$ получим: $P(y, x) = y^4 - y^3x - yx^3 + x^4$. Это тот же самый многочлен. Значит, он симметрический.

Ответ: `(*)` — это $x^3y$, `(**)` — это $xy^3$. (Возможен и обратный вариант).

2) $yx^7 - (*) - (**) + xy^7$

Перепишем выражение в виде $P(x, y) = (x^7y + xy^7) - ( (*) + (**) )$. Сумма $x^7y + xy^7$ является симметрической. Значит, сумма $S(x, y) = (*) + (**)$ также должна быть симметрической.

Степень данных членов равна $1+7=8$. Предположим, что итоговый многочлен однородный степени 8. Значит, искомые одночлены должны иметь степень 8.

Как и в предыдущем пункте, выберем пару симметричных одночленов $ax^k y^l$ и $ax^l y^k$ с $k+l=8$ и $k \neq l$. Возьмем $a=1$. Существует несколько вариантов для пары $(k,l)$: $(6,2)$, $(5,3)$ и т.д. (пара $(7,1)$ уже использована в исходном выражении). Выберем, например, $k=5, l=3$.

Пусть `(*)` — это $x^5y^3$, а `(**)` — это $x^3y^5$.

Проверим полученное выражение: $P(x, y) = x^7y - x^5y^3 - x^3y^5 + xy^7$.

При замене переменных $x \leftrightarrow y$ получим: $P(y, x) = y^7x - y^5x^3 - y^3x^5 + yx^7$. Это тот же самый многочлен, следовательно, он симметрический.

Ответ: `(*)` — это $x^5y^3$, `(**)` — это $x^3y^5$. (Возможен и обратный вариант, а также другие пары степеней).

3) $5y^2x^7 - 6(*) - (**) + 5x^2y^7$

Перепишем выражение: $P(x, y) = (5x^7y^2 + 5x^2y^7) - ( 6(*) + (**) )$. Часть $5x^7y^2 + 5x^2y^7 = 5(x^7y^2 + x^2y^7)$ является симметрической. Значит, выражение $S(x, y) = 6(*) + (**)$ также должно быть симметрическим, то есть $S(x,y) = S(y,x)$.

Степень данных членов равна $7+2=9$. Будем искать одночлены `(*)` и `(**)` девятой степени.

Пусть `(*)` — это одночлен $ax^k y^l$, а `(**)` — это $bx^m y^n$. Тогда $S(x,y) = 6ax^ky^l + bx^my^n$. Условие симметричности: $6ax^ky^l + bx^my^n = 6ay^kx^l + by^mx^n$. Это тождество должно выполняться для любых $x,y$. Это возможно, если набор одночленов слева совпадает с набором одночленов справа. Так как одночлены с равными степенями $k=l$ для нечетной степени 9 невозможны (с целыми $k,l$), рассмотрим случай, когда $6ax^ky^l = by^mx^n$ и $bx^my^n = 6ay^kx^l$.

Из первого равенства следует, что $6a=b$, $k=n$ и $l=m$. Второе равенство дает те же условия. Таким образом, одночлены должны иметь вид: `(*)` $= ax^ky^l$ и `(**)` $= 6ax^ly^k$.

Для простоты выберем $a=1$. Тогда `(*)` $= x^ky^l$ и `(**)` $= 6x^ly^k$. Суммарная степень должна быть 9, т.е. $k+l=9$ и $k \neq l$. Выберем, например, $k=6, l=3$.

Тогда `(*)` $= x^6y^3$ и `(**)` $= 6x^3y^6$.

Подставим в исходное выражение: $5x^7y^2 - 6(x^6y^3) - (6x^3y^6) + 5x^2y^7 = 5x^7y^2 - 6x^6y^3 - 6x^3y^6 + 5x^2y^7$.

Проверим на симметричность: при замене $x \leftrightarrow y$ получаем $5y^7x^2 - 6y^6x^3 - 6y^3x^6 + 5y^2x^7$, что совпадает с исходным выражением после перестановки слагаемых.

Ответ: `(*)` — это $x^6y^3$, `(**)` — это $6x^3y^6$. (Возможны и другие варианты, например, `(*)` $=x^5y^4$ и `(**)` $= 6x^4y^5$).