Номер 30.2, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.2. Найдите степень и выпишите набор всех коэффициентов многочлена $f(x):$

1) $f(x) = 2x^5 - x^2 - 9x^3 + 9;$

2) $f(x) = -x^5 - x^4 - 9x^2 + 1;$

3) $f(x) = x^6 - x^4 - x^3;$

4) $f(x) = x^5 - 3x^2 - 7x^3 + \sqrt{3}.$

1) Для многочлена $f(x) = 2x^5 - x^2 - 9x^3 + 9$.

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов. Сначала приведем многочлен к стандартному виду, расположив его члены по убыванию степеней переменной: $f(x) = 2x^5 - 9x^3 - x^2 + 9$. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, следовательно, степень многочлена — 5.

Набор всех коэффициентов включает в себя коэффициенты при всех степенях от старшей до нулевой (свободный член). Если какая-то степень отсутствует, её коэффициент равен нулю. Запишем многочлен, включая отсутствующие члены:

$f(x) = 2x^5 + 0 \cdot x^4 - 9x^3 - 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 9$.

Таким образом, набор всех коэффициентов (от старшей степени к младшей) это $\{2, 0, -9, -1, 0, 9\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{2, 0, -9, -1, 0, 9\}$.

2) Для многочлена $f(x) = -x^5 - x^4 - 9x^2 + 1$.

Многочлен уже записан в стандартном виде. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, значит, степень многочлена — 5.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами, чтобы найти полный набор коэффициентов:

$f(x) = -1 \cdot x^5 - 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 - 9x^2 + 0 \cdot x + 1$.

Набор всех коэффициентов: $\{-1, -1, 0, -9, 0, 1\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{-1, -1, 0, -9, 0, 1\}$.

3) Для многочлена $f(x) = x^6 - x^4 - x^3$.

Многочлен записан в стандартном виде. Наибольшая степень переменной $x$ равна 6, следовательно, степень многочлена — 6.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = 1 \cdot x^6 + 0 \cdot x^5 - 1 \cdot x^4 - 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0$.

Набор всех коэффициентов: $\{1, 0, -1, -1, 0, 0, 0\}$.

Ответ: степень 6, набор коэффициентов $\{1, 0, -1, -1, 0, 0, 0\}$.

4) Для многочлена $f(x) = x^5 - 3x^2 - 7x^3 + \sqrt{3}$.

Приведем многочлен к стандартному виду: $f(x) = x^5 - 7x^3 - 3x^2 + \sqrt{3}$. Наибольшая степень переменной $x$ равна 5, значит, степень многочлена — 5.

Запишем многочлен, включая отсутствующие члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = 1 \cdot x^5 + 0 \cdot x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 0 \cdot x + \sqrt{3}$.

Набор всех коэффициентов: $\{1, 0, -7, -3, 0, \sqrt{3}\}$.

Ответ: степень 5, набор коэффициентов $\{1, 0, -7, -3, 0, \sqrt{3}\}$.