Номер 30.7, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.7. Приведите к многочлену стандартного вида выражение:

1) $a^2b(a^3b - b^2a^2) + 4a^3b^2a^2 - 2aba^4b + 7ab^0a^4b^2 - 3a^3bab^2$;

2) $3x^2y(x^3y - y^2x^2) - 5x^3y^2x^2 - 2xyx^4y + 5xy^2x^4y^2 - 4x^3yxy^2$.

Найдите степень полученного многочлена.

1) $a^2b(a^3b - b^2a^2) + 4a^3b^2a^2 - 2aba^4b + 7ab^0a^4b^2 - 3a^3bab^2$

Для приведения выражения к многочлену стандартного вида необходимо выполнить следующие шаги:

1. Привести каждый член выражения к стандартному виду одночлена. Для этого нужно перемножить все числовые и буквенные множители.

2. Сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть).

3. Расположить члены многочлена в порядке убывания их степеней.

Упростим каждый член исходного выражения:

$a^2b(a^3b - b^2a^2) = a^2b \cdot a^3b - a^2b \cdot b^2a^2 = a^{2+3}b^{1+1} - a^{2+2}b^{1+2} = a^5b^2 - a^4b^3$

$4a^3b^2a^2 = 4a^{3+2}b^2 = 4a^5b^2$

$2aba^4b = 2a^{1+4}b^{1+1} = 2a^5b^2$

$7ab^0a^4b^2 = 7a^{1+4}b^{0+2} = 7a^5b^2$ (так как любое число в нулевой степени равно 1, $b^0 = 1$)

$3a^3bab^2 = 3a^{3+1}b^{1+1+2} = 3a^4b^4$

Теперь подставим упрощенные одночлены обратно в выражение:

$a^5b^2 - a^4b^3 + 4a^5b^2 - 2a^5b^2 + 7a^5b^2 - 3a^4b^4$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a^5b^2 + 4a^5b^2 - 2a^5b^2 + 7a^5b^2) - a^4b^3 - 3a^4b^4 = (1+4-2+7)a^5b^2 - a^4b^3 - 3a^4b^4 = 10a^5b^2 - a^4b^3 - 3a^4b^4$

Для нахождения степени многочлена найдем степень каждого его члена (сумма показателей степеней всех переменных):

Степень члена $10a^5b^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $-a^4b^3$ равна $4+3=7$.

Степень члена $-3a^4b^4$ равна $4+4=8$.

Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов, то есть 8.

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней: $-3a^4b^4 + 10a^5b^2 - a^4b^3$.

Ответ: Многочлен в стандартном виде: $-3a^4b^4 + 10a^5b^2 - a^4b^3$. Степень многочлена равна 8.

2) $3x^2y(x^3y - y^2x^2) - 5x^3y^2x^2 - 2xyx^4y + 5xy^2x^4y^2 - 4x^3yxy^2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала упростим каждый член выражения.

Раскроем скобки:

$3x^2y(x^3y - y^2x^2) = 3x^2y \cdot x^3y - 3x^2y \cdot y^2x^2 = 3x^{2+3}y^{1+1} - 3x^{2+2}y^{1+2} = 3x^5y^2 - 3x^4y^3$

Упростим остальные члены:

$5x^3y^2x^2 = 5x^{3+2}y^2 = 5x^5y^2$

$2xyx^4y = 2x^{1+4}y^{1+1} = 2x^5y^2$

$5xy^2x^4y^2 = 5x^{1+4}y^{2+2} = 5x^5y^4$

$4x^3yxy^2 = 4x^{3+1}y^{1+1+2} = 4x^4y^4$

Подставим упрощенные одночлены в исходное выражение:

$3x^5y^2 - 3x^4y^3 - 5x^5y^2 - 2x^5y^2 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(3x^5y^2 - 5x^5y^2 - 2x^5y^2) - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4 = (3-5-2)x^5y^2 - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4 = -4x^5y^2 - 3x^4y^3 + 5x^5y^4 - 4x^4y^4$

Найдем степень каждого члена многочлена:

Степень члена $5x^5y^4$ равна $5+4=9$.

Степень члена $-4x^4y^4$ равна $4+4=8$.

Степень члена $-4x^5y^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $-3x^4y^3$ равна $4+3=7$.

Степень многочлена равна наибольшей из степеней его членов, то есть 9.

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $5x^5y^4 - 4x^4y^4 - 4x^5y^2 - 3x^4y^3$.

Ответ: Многочлен в стандартном виде: $5x^5y^4 - 4x^4y^4 - 4x^5y^2 - 3x^4y^3$. Степень многочлена равна 9.