Номер 30.3, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.3. Придумайте и запишите в стандартном виде многочлен степени $n$, если:

1) $n = 5$;

2) $n = 3$;

3) $n = 0$;

4) $n = 1$.

1) n = 5;

Многочлен стандартного вида — это сумма одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания их степеней. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Для того чтобы составить многочлен степени $n = 5$, нужно, чтобы наибольшая степень переменной (например, $x$) в нем была равна 5. Коэффициент при $x^5$ должен быть отличен от нуля. Остальные члены с меньшими степенями могут присутствовать или отсутствовать.

Приведем пример. Выберем несколько членов со степенями не выше 5 и расположим их в порядке убывания степеней:

$P(x) = 4x^5 - 2x^3 + x - 8$

В этом многочлене старший член $4x^5$ имеет степень 5. Все члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней (5, 3, 1, 0). Следовательно, это многочлен 5-й степени в стандартном виде.

Ответ: $4x^5 - 2x^3 + x - 8$

2) n = 3;

Требуется составить многочлен, степень которого равна 3. Это означает, что наибольшая степень переменной в многочлене должна быть равна 3, а коэффициент при ней не должен быть равен нулю.

Составим многочлен от переменной $x$. Например, можно взять все члены от 3-й степени до нулевой:

$P(x) = x^3 + 6x^2 - 5x + 12$

Можно также составить многочлен с пропущенными степенями:

$P(x) = -2x^3 + 9$

Оба примера являются многочленами 3-й степени в стандартном виде.

Ответ: $x^3 + 6x^2 - 5x + 12$

3) n = 0;

Многочлен степени 0 — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна 0.

Общий вид такого многочлена — $a_0 x^0$. Поскольку для любого $x \ne 0$ верно, что $x^0 = 1$, то многочлен можно записать как $a_0$.

Чтобы степень была равна именно 0, коэффициент $a_0$ не должен быть равен нулю. Если $a_0 = 0$, то это нулевой многочлен, степень которого либо не определена, либо по соглашению принимается равной $-\infty$.

Таким образом, многочлен нулевой степени — это любое отличное от нуля число (константа).

Ответ: 15

4) n = 1;

Многочлен степени 1 (также называемый линейным многочленом) — это многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна 1.

Общий стандартный вид такого многочлена: $ax + b$, где коэффициент $a$ при переменной в первой степени не равен нулю ($a \ne 0$).

Составим пример такого многочлена. Пусть переменная будет $x$.

$P(x) = -7x + 3$

Здесь старшая степень переменной $x$ равна 1, коэффициент при ней (-7) не равен нулю. Члены расположены в порядке убывания степеней (1, 0).

Ответ: $-7x + 3$