Объясните, страница 3, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему выражение $ \frac{z^2 + x + y}{8} $ является многочленом, выражение $ \frac{x^4}{y-23} + 2x - x^2 $ не является многочленом?

Для того чтобы понять, почему одно выражение является многочленом, а другое нет, необходимо вспомнить определение многочлена.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. В свою очередь, одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями.

Ключевой момент в определении: в многочлене не допускается деление на переменную. Деление на число (константу) допускается, так как это равносильно умножению на обратное число (например, деление на 8 — это то же самое, что умножение на $\frac{1}{8}$).

Почему выражение $\frac{z^2+x+y}{8}$ является многочленом?

Данное выражение можно переписать, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{z^2+x+y}{8} = \frac{z^2}{8} + \frac{x}{8} + \frac{y}{8}$

Это можно представить как:

$\frac{1}{8}z^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{8}y$

Это выражение является суммой трех одночленов: $\frac{1}{8}z^2$, $\frac{1}{8}x$ и $\frac{1}{8}y$. В каждом из них переменные возведены в натуральную степень ($2$ и $1$), и они умножаются на числовые коэффициенты ($\frac{1}{8}$). Деление происходит на константу $8$, что не противоречит определению многочлена.

Ответ: Данное выражение является многочленом, так как представляет собой сумму одночленов и не содержит операции деления на переменную.

Почему выражение $\frac{x^4}{y-23} + 2x - x^2$ не является многочленом?

Рассмотрим первое слагаемое в этом выражении: $\frac{x^4}{y-23}$. В знаменателе этой дроби находится выражение $y-23$, которое содержит переменную $y$.

Согласно определению, многочлен не может содержать операцию деления на переменную или на выражение, содержащее переменную. Наличие слагаемого $\frac{x^4}{y-23}$ нарушает это правило. Такие выражения, которые содержат деление на переменные, называются рациональными выражениями (или алгебраическими дробями), но не многочленами.

Ответ: Данное выражение не является многочленом, потому что в его состав входит слагаемое $\frac{x^4}{y-23}$, которое содержит деление на выражение с переменной ($y-23$).