Объясните, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены: $x + y$, $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$ являются симметрическими, а многочлены $x^2y - xy^2$, $x^2 - y^2$, $x^3 - y^3$ — нет?

Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке (замене) своих переменных. В случае двух переменных $x$ и $y$ это означает, что многочлен $P(x, y)$ является симметрическим, если при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он остается неизменным, то есть выполняется равенство $P(x, y) = P(y, x)$.

Проверим это свойство для каждого из данных многочленов.

Почему многочлены $x + y, x^2+ y^2, x^3 + y^3, xy(x + y)$ являются симметрическими

Проверим каждый многочлен из этой группы, выполнив замену переменных $x \leftrightarrow y$.

• Для многочлена $P(x, y) = x + y$:

  Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Получим $P(y, x) = y + x$.

  Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения), $y + x = x + y$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^2 + y^2$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^2 + x^2$.

  В силу коммутативности сложения, $y^2 + x^2 = x^2 + y^2$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^3 + y^3$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^3 + x^3$.

  Опять же, $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = xy(x + y)$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = yx(y + x)$.

  Так как умножение и сложение коммутативны, $yx = xy$ и $y + x = x + y$.

  Таким образом, $yx(y + x) = xy(x + y)$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

Ответ: Эти многочлены являются симметрическими, потому что при замене переменных $x$ на $y$ и $y$ на $x$ выражение для каждого многочлена не изменяется.

Почему многочлены $x^2y - xy^2, x^2 - y^2, x^3 - y^3$ не являются симметрическими

Проверим каждый многочлен из этой группы, выполнив ту же замену переменных $x \leftrightarrow y$.

• Для многочлена $P(x, y) = x^2y - xy^2$:

  Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Получим $P(y, x) = y^2x - yx^2$.

  Сравним исходный и новый многочлены: $x^2y - xy^2$ и $y^2x - yx^2$.

  Они не равны. Например, при $x=2, y=1$, $P(2,1) = 2^2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2$, а $P(1,2) = 1^2 \cdot 2 - 1 \cdot 2^2 = 2 - 4 = -2$.

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим. (Он является кососимметрическим, так как $P(y, x) = -P(x, y)$).

• Для многочлена $P(x, y) = x^2 - y^2$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^2 - x^2$.

  Выражение $x^2 - y^2$ не равно $y^2 - x^2$ (за исключением случая, когда оно равно нулю).

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^3 - y^3$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^3 - x^3$.

  Выражение $x^3 - y^3$ не равно $y^3 - x^3$.

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим.

Ответ: Эти многочлены не являются симметрическими, потому что при замене переменных $x$ на $y$ и $y$ на $x$ их вид изменяется.