Номер 30.4, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.4. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

1) $(x-1)^2 - x(x+1)(x-3)$;

2) $(x-1)x^2 + 3(x-3)^2$;

3) $(x-2)^2 + 3(x+1)^3 - (x+9)$;

4) $(x-3)(x+1) + 2x(x^2 - 2x)$.

1) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)^2 - x(x + 1)(x - 3)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем квадрат разности и перемножим скобки:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$x(x + 1)(x - 3) = x(x^2 + x - 3x - 3) = x(x^2 - 2x - 3) = x^3 - 2x^2 - 3x$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 2x + 1) - (x^3 - 2x^2 - 3x) = x^2 - 2x + 1 - x^3 + 2x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в порядке убывания степеней:

$-x^3 + (x^2 + 2x^2) + (-2x + 3x) + 1 = -x^3 + 3x^2 + x + 1$

Ответ: $-x^3 + 3x^2 + x + 1$.

2) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)x^2 + 3(x - 3)^2$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки:

$(x - 1)x^2 = x^3 - x^2$

$3(x - 3)^2 = 3(x^2 - 6x + 9) = 3x^2 - 18x + 27$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^3 - x^2) + (3x^2 - 18x + 27) = x^3 - x^2 + 3x^2 - 18x + 27$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + 3x^2) - 18x + 27 = x^3 + 2x^2 - 18x + 27$

Ответ: $x^3 + 2x^2 - 18x + 27$.

3) Для того чтобы записать выражение $(x - 2)^2 + 3(x + 1)^3 - (x + 9)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$3(x + 1)^3 = 3(x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) = 3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 3x^3 + 9x^2 + 9x + 3$

Подставим полученные выражения в исходное и раскроем последнюю скобку:

$(x^2 - 4x + 4) + (3x^3 + 9x^2 + 9x + 3) - x - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^3 + (x^2 + 9x^2) + (-4x + 9x - x) + (4 + 3 - 9) = 3x^3 + 10x^2 + 4x - 2$

Ответ: $3x^3 + 10x^2 + 4x - 2$.

4) Для того чтобы записать выражение $(x - 3)(x + 1) + 2x(x^2 - 2x)$ в виде многочлена стандартного вида, выполним следующие действия:

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(x - 3)(x + 1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$

$2x(x^2 - 2x) = 2x^3 - 4x^2$

Сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 2x - 3) + (2x^3 - 4x^2) = x^2 - 2x - 3 + 2x^3 - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + (x^2 - 4x^2) - 2x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 2x - 3$

Ответ: $2x^3 - 3x^2 - 2x - 3$.