Номер 30.6, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.6. Придумайте и запишите симметрический многочлен с двумя переменными степени $n$, если:

1) $n = 1$;

2) $n = 2$;

3) $n = 3$;

4) $n = 5$.

Симметрический многочлен $P(x, y)$ с двумя переменными — это многочлен, который не изменяется при перестановке его переменных, то есть $P(x, y) = P(y, x)$. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его одночленов (слагаемых). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Для составления примеров будем использовать переменные $x$ и $y$. Общий подход — составить такой многочлен, чтобы при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он не изменился, и при этом старшая степень его слагаемых была равна $n$.

1) n = 1;

Требуется составить симметрический многочлен первой степени. Самым простым примером является сумма переменных: $x + y$.

Проверка: степень этого многочлена равна 1 (т.к. степень $x$ равна 1 и степень $y$ равна 1). При замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ получаем $y + x$, что тождественно равно $x + y$. Условие симметричности выполняется.

Ответ: $x + y$

2) n = 2;

Требуется составить симметрический многочлен второй степени. Можно взять, например, сумму квадратов переменных: $x^2 + y^2$.

Проверка: степень многочлена равна 2. При замене переменных местами получаем $y^2 + x^2$, что равно исходному многочлену.

Другим простым примером является многочлен $xy$. Его степень равна $1+1=2$, и он также симметричен, так как $yx = xy$.

Ответ: $x^2 + y^2$

3) n = 3;

Требуется составить симметрический многочлен третьей степени. По аналогии с предыдущими пунктами, рассмотрим сумму кубов переменных: $x^3 + y^3$.

Проверка: степень многочлена равна 3. При замене переменных местами получаем $y^3 + x^3$, что равно исходному многочлену.

Ответ: $x^3 + y^3$

4) n = 5;

Требуется составить симметрический многочлен пятой степени. Таким многочленом является сумма пятых степеней переменных: $x^5 + y^5$.

Проверка: степень многочлена равна 5. При замене переменных местами получаем $y^5 + x^5$, что равно исходному многочлену.

Ответ: $x^5 + y^5$