Номер 30.13, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.13. Методом понижения степени решите неравенство:

1) $\cos^2 x \ge 0.5$; 2) $\sin^2 x \ge 1$; 3) $\cos^2 x < 1$.

Для решения данных неравенств используется метод понижения степени, основанный на формулах двойного угла:

$cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

$sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$

1) $cos^2x \ge 0,5$

Применим формулу понижения степени для косинуса:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} \ge 0,5$

Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и умножим обе части неравенства на 2:

$1 + cos(2x) \ge 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$cos(2x) \ge 0$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Косинус является неотрицательной функцией, когда его аргумент $2x$ находится в промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, с учётом периодичности $2\pi k$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in Z$.

2) $sin^2x > 1$

Применим формулу понижения степени для синуса:

$\frac{1 - cos(2x)}{2} > 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - cos(2x) > 2$

Перенесем 1 в правую часть:

$-cos(2x) > 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$cos(2x) < -1$

Область значений функции косинус $E(cos) = [-1; 1]$. Не существует таких значений $x$, при которых $cos(2x)$ был бы строго меньше -1. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

3) $cos^2x < 1$

Применим формулу понижения степени для косинуса:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} < 1$

Умножим обе части на 2:

$1 + cos(2x) < 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$cos(2x) < 1$

Функция косинуса всегда меньше или равна 1. Равенство $cos(2x) = 1$ достигается только тогда, когда аргумент $2x$ равен $2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(2x) < 1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(2x) = 1$.

Запишем условие, которое нужно исключить:

$2x \neq 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделим на 2:

$x \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \pi k$, где $k \in Z$.