Объясните, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены $P(x)=\sin{\frac{\pi}{6}}x^3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}x^2-x$ и $Q(x)=\frac{1}{2}x^3-(1+\sqrt{3})x^2-\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}}x$ равны?

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Чтобы доказать, что многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ равны, нужно упростить их коэффициенты и сравнить их.

Упростим многочлен P(x):

$ P(x) = \sin\frac{\pi}{6} x^3 - \sqrt{4+2\sqrt{3}} x^2 - x $

Вычислим каждый коэффициент по отдельности:

1. Коэффициент при $x^3$: $ \sin\frac{\pi}{6} $. Это табличное значение синуса, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

2. Коэффициент при $x^2$: $ -\sqrt{4+2\sqrt{3}} $. Упростим подкоренное выражение, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Представим $ 4+2\sqrt{3} $ в виде $ (1+\sqrt{3})^2 $:

$ (1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4+2\sqrt{3} $.

Следовательно, $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3} $.

Таким образом, коэффициент при $x^2$ равен $ -(1+\sqrt{3}) $.

3. Коэффициент при $x$: $ -1 $.

После упрощения многочлен $P(x)$ принимает вид:

$ P(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - x $.

Упростим многочлен Q(x):

$ Q(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}x $

Вычислим коэффициенты:

1. Коэффициент при $x^3$: $ \frac{1}{2} $.

2. Коэффициент при $x^2$: $ -(1+\sqrt{3}) $.

3. Коэффициент при $x$: $ -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} $. Это табличное значение тангенса, $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Таким образом, коэффициент при $x$ равен $ -1 $.

После упрощения многочлен $Q(x)$ принимает вид:

$ Q(x) = \frac{1}{2}x^3 - (1+\sqrt{3})x^2 - x $.

Сравнение многочленов:

Сравнив упрощенные выражения для $P(x)$ и $Q(x)$, мы видим, что они полностью идентичны:

Коэффициент при $x^3$: $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Коэффициент при $x^2$: $ -(1+\sqrt{3}) = -(1+\sqrt{3}) $

Коэффициент при $x$: $ -1 = -1 $

Поскольку все соответствующие коэффициенты многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны, сами многочлены также равны.

Ответ: Многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ равны, так как после вычисления значений тригонометрических функций и упрощения радикала их коэффициенты при соответствующих степенях $x$ оказываются одинаковыми.