Номер 31.2, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.2. При каких значениях параметра p многочлен $(p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6:$

1) является приведенным многочленом;

2) является многочленом четвертой степени;

3) является многочленом третьей степени;

4) принимает одинаковые значения в точках $x = -1$ и $x = 1$?

1) является приведенным многочленом;

Приведенным называется многочлен, у которого коэффициент при старшей степени равен 1.

Пусть данный многочлен $P(x) = (p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6$.

Если степень многочлена равна 4 (то есть коэффициент при $x^4$ не равен нулю, $p^2 - 4 \neq 0$), то старшим является член $(p^2 - 4)x^4$. Чтобы многочлен был приведенным, коэффициент при нем должен быть равен 1.

$p^2 - 4 = 1$

$p^2 = 5$

$p = \sqrt{5}$ или $p = -\sqrt{5}$.

При этих значениях $p$ условие $p^2 - 4 \neq 0$ выполняется, так как $1 \neq 0$.

Если степень многочлена ниже четвертой, то коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю:

$p^2 - 4 = 0$, откуда $p = 2$ или $p = -2$.

В этом случае многочлен принимает вид $P(x) = -2x^3 + (2p - 1)x - 6$. Его старший член равен $-2x^3$, а коэффициент при нем равен -2, что не равно 1. Следовательно, в этом случае многочлен не является приведенным.

Таким образом, единственные подходящие значения параметра $p$ это $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$.

Ответ: $p = \pm\sqrt{5}$.

2) является многочленом четвертой степени;

Многочлен является многочленом четвертой степени, если коэффициент при $x^4$ не равен нулю.

Коэффициент при $x^4$ в данном многочлене равен $(p^2 - 4)$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$p^2 - 4 \neq 0$

$p^2 \neq 4$

$p \neq 2$ и $p \neq -2$.

Ответ: $p \neq \pm2$.

3) является многочленом третьей степени;

Многочлен является многочленом третьей степени, если коэффициент при $x^4$ равен нулю, а коэффициент при $x^3$ не равен нулю.

Приравняем коэффициент при $x^4$ к нулю:

$p^2 - 4 = 0$

$p^2 = 4$

$p = 2$ или $p = -2$.

При этих значениях $p$ член с $x^4$ обнуляется, и многочлен принимает вид $P(x) = -2x^3 + (2p - 1)x - 6$.

Коэффициент при $x^3$ равен -2. Так как $-2 \neq 0$, то при $p = 2$ и $p = -2$ многочлен будет иметь третью степень.

Ответ: $p = \pm2$.

4) принимает одинаковые значения в точках x = -1 и x = 1?

Найдем значения многочлена $P(x) = (p^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2p - 1)x - 6$ в точках $x = 1$ и $x = -1$ и приравняем их.

При $x = 1$:

$P(1) = (p^2 - 4)(1)^4 - 2(1)^3 + (2p - 1)(1) - 6 = p^2 - 4 - 2 + 2p - 1 - 6 = p^2 + 2p - 13$.

При $x = -1$:

$P(-1) = (p^2 - 4)(-1)^4 - 2(-1)^3 + (2p - 1)(-1) - 6 = (p^2 - 4)(1) - 2(-1) - (2p - 1) - 6 = p^2 - 4 + 2 - 2p + 1 - 6 = p^2 - 2p - 7$.

Приравняем $P(1)$ и $P(-1)$:

$p^2 + 2p - 13 = p^2 - 2p - 7$

$2p - 13 = -2p - 7$

$4p = 6$

$p = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $p = \frac{3}{2}$.