Номер 31.8, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.8. Найдите все значения параметра $a$, при которых тождественно равны многочлены $f(x)$ и $h(x):$

1) $f(x) = (a^2 - 5)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и

$h(x) = 4x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - a - 4;$

2) $f(x) = (a^2 - 2)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 4$ и

$h(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 1)x - a - 6;$

3) $f(x) = (3 - a^2)x^5 - 2x^4 + (2a + 1)x + 3$ и

$h(x) = - x^5 - 2x^4 + (a - 1) x + a + 5;$

4) $f(x) = (a^2 - 2a)x^4 - 2x^2 + (3a - 2)x - 4 + a$ и

$h(x) = - x^4 - 2x^2 + (2a - 1)x - a - 2.$

1) Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 5)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и $h(x) = 4x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - a - 4$.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

При $x^4$: $a^2 - 5 = 4$

При $x^3$: $-2 = -2$ (это верное равенство, не зависящее от $a$)

При $x$: $2a - 1 = -(a - 8)$

Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $-7 = -a - 4$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из уравнения $a^2 - 5 = 4$ следует, что $a^2 = 9$, то есть $a = 3$ или $a = -3$.

2) Из уравнения $2a - 1 = -(a - 8)$ следует, что $2a - 1 = -a + 8$, откуда $3a = 9$ и $a = 3$.

3) Из уравнения $-7 = -a - 4$ следует, что $a = 7 - 4$, то есть $a = 3$.

Все три уравнения выполняются одновременно только при $a = 3$.

Ответ: $a=3$.

2) Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 2)x^3 - 2x^2 + (2a + 1)x - 4$ и $h(x) = 2x^3 - 2x^2 + (a - 1)x - a - 6$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^3$: $a^2 - 2 = 2$

При $x^2$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $2a + 1 = a - 1$

Свободные члены: $-4 = -a - 6$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $a^2 - 2 = 2$ получаем $a^2 = 4$, то есть $a = 2$ или $a = -2$.

2) Из $2a + 1 = a - 1$ получаем $a = -2$.

3) Из $-4 = -a - 6$ получаем $a = -6 + 4$, то есть $a = -2$.

Общим решением для всех уравнений является $a = -2$.

Ответ: $a=-2$.

3) Даны многочлены $f(x) = (3 - a^2)x^5 - 2x^4 + (2a + 1)x + 3$ и $h(x) = -x^5 - 2x^4 + (a - 1)x + a + 5$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^5$: $3 - a^2 = -1$

При $x^4$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $2a + 1 = a - 1$

Свободные члены: $3 = a + 5$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $3 - a^2 = -1$ получаем $a^2 = 4$, то есть $a = 2$ или $a = -2$.

2) Из $2a + 1 = a - 1$ получаем $a = -2$.

3) Из $3 = a + 5$ получаем $a = 3 - 5$, то есть $a = -2$.

Общим решением для всех уравнений является $a = -2$.

Ответ: $a=-2$.

4) Даны многочлены $f(x) = (a^2 - 2a)x^4 - 2x^2 + (3a - 2)x - 4 + a$ и $h(x) = -x^4 - 2x^2 + (2a - 1)x - a - 2$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

При $x^4$: $a^2 - 2a = -1$

При $x^2$: $-2 = -2$ (верно при любом $a$)

При $x$: $3a - 2 = 2a - 1$

Свободные члены: $-4 + a = -a - 2$

Решим полученную систему уравнений:

1) Из $a^2 - 2a = -1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = 0$, что равносильно $(a - 1)^2 = 0$. Отсюда $a = 1$.

2) Из $3a - 2 = 2a - 1$ получаем $a = 1$.

3) Из $-4 + a = -a - 2$ получаем $2a = 2$, то есть $a = 1$.

Единственное значение, удовлетворяющее всем уравнениям, это $a = 1$.

Ответ: $a=1$.