Номер 31.11, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.11. При каких значениях $a$ и $c$ многочлен $f(x)$ делится на многочлен $h(x)$:

1) $f(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + c, h(x) = x^2 - 3x + 2;$

2) $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2, h(x) = x^2 + x + c?$

1) Для того чтобы многочлен $f(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + c$ делился на многочлен $h(x) = x^2 - 3x + 2$ без остатка, необходимо, чтобы все корни многочлена $h(x)$ были также и корнями многочлена $f(x)$. Это следует из теоремы Безу.

Сначала найдем корни многочлена $h(x)$, решив уравнение $h(x) = 0$:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Используя теорему Виета или разложение на множители, получаем:

$(x-1)(x-2) = 0$

Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь, согласно условию делимости, значения многочлена $f(x)$ в этих точках должны быть равны нулю, то есть $f(1) = 0$ и $f(2) = 0$.

Подставим $x=1$ в выражение для $f(x)$:

$f(1) = (1)^4 - 3(1)^3 + 3(1)^2 + a(1) + c = 0$

$1 - 3 + 3 + a + c = 0$

$1 + a + c = 0$

$a + c = -1$

Подставим $x=2$ в выражение для $f(x)$:

$f(2) = (2)^4 - 3(2)^3 + 3(2)^2 + a(2) + c = 0$

$16 - 3(8) + 3(4) + 2a + c = 0$

$16 - 24 + 12 + 2a + c = 0$

$4 + 2a + c = 0$

$2a + c = -4$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $c$:

$\begin{cases} a + c = -1 \\ 2a + c = -4 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2a + c) - (a + c) = -4 - (-1)$

$a = -3$

Подставим найденное значение $a = -3$ в первое уравнение системы:

$-3 + c = -1$

$c = 2$

Ответ: $a = -3$, $c = 2$.

2) В этом случае $f(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2$ и $h(x) = x^2 + x + c$. Так как степень $f(x)$ равна 4, а степень $h(x)$ равна 2, частное от их деления должно быть многочленом второй степени. Обозначим его как $q(x) = x^2 + bx + d$.

Условие делимости означает, что $f(x) = h(x) \cdot q(x)$.

$x^4 - 2x^3 + ax + 2 = (x^2 + x + c)(x^2 + bx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(x^2 + x + c)(x^2 + bx + d) = x^4 + bx^3 + dx^2 + x^3 + bx^2 + dx + cx^2 + cbx + cd$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$x^4 + (b+1)x^3 + (d+b+c)x^2 + (d+cb)x + cd$

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в исходном многочлене $f(x)$ и в полученном выражении:

Коэффициент при $x^4$: $1 = 1$ (верно).

Коэффициент при $x^3$: $-2 = b+1$, откуда $b = -3$.

Коэффициент при $x^2$: $0 = d+b+c$.

Коэффициент при $x$: $a = d+cb$.

Свободный член: $2 = cd$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} b = -3 \\ d+b+c = 0 \\ a = d+cb \\ cd = 2 \end{cases}$

Подставим $b = -3$ во второе уравнение:

$d - 3 + c = 0 \implies d + c = 3 \implies d = 3 - c$.

Теперь подставим выражение для $d$ в последнее уравнение системы:

$c(3 - c) = 2$

$3c - c^2 = 2$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

Решая это квадратное уравнение относительно $c$, находим два корня: $c_1 = 1$ и $c_2 = 2$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $c = 1$.

Находим $d$: $d = 3 - c = 3 - 1 = 2$.

Находим $a$ из третьего уравнения системы, подставив $b=-3, c=1, d=2$:

$a = d+cb = 2 + (1)(-3) = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первая пара значений: $a=-1, c=1$.

Случай 2: $c = 2$.

Находим $d$: $d = 3 - c = 3 - 2 = 1$.

Находим $a$, подставив $b=-3, c=2, d=1$:

$a = d+cb = 1 + (2)(-3) = 1 - 6 = -5$.

Таким образом, вторая пара значений: $a=-5, c=2$.

Ответ: $a = -1, c = 1$ или $a = -5, c = 2$.