Номер 31.12, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.12. Решите дробно-рациональное уравнение:

1) $1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x-2}$;

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 - \frac{3x-1}{x-4}$;

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3$;

4) $\frac{12}{x^2 + 2x} - \frac{3}{x^2 + 2x - 2} = 1$.

1) $1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x-2}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $1 - \frac{x}{x+1} - \frac{x}{x-2} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-2)$: $\frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)} - \frac{x(x-2)}{(x+1)(x-2)} - \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-2)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой: $\frac{(x^2-x-2) - (x^2-2x) - (x^2+x)}{(x+1)(x-2)} = 0$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^2 - x - 2 - x^2 + 2x - x^2 - x}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{-x^2 - 2}{(x+1)(x-2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ. $-x^2 - 2 = 0$ $x^2 = -2$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 - \frac{3x-1}{x-4}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Преобразуем правую часть уравнения: $16 - \frac{3x-1}{x-4} = 16 - \frac{-(1-3x)}{x-4} = 16 + \frac{1-3x}{x-4}$.

Подставим это обратно в уравнение: $x^2 + \frac{1-3x}{x-4} = 16 + \frac{1-3x}{x-4}$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковое слагаемое $\frac{1-3x}{x-4}$: $x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ $x_2 = -4$

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$). Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 12x = x(x-12)$.

Уравнение примет вид: $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-12 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-12)$: $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3x}{x(x-12)} = 3$ $\frac{36 - 3x}{x(x-12)} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x-12)$, так как по ОДЗ он не равен нулю: $36 - 3x = 3x(x-12)$ $36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные: $3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$ $3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения: $x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 11$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Корни уравнения: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 12$). Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

4) $\frac{12}{x^2 + 2x} - \frac{3}{x^2 + 2x - 2} = 1$

В данном уравнении выражение $x^2 + 2x$ встречается дважды. Введем замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Тогда уравнение примет вид: $\frac{12}{t} - \frac{3}{t-2} = 1$

ОДЗ для новой переменной $t$: $t \neq 0$ и $t-2 \neq 0$, то есть $t \neq 0$ и $t \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $t(t-2)$ и решим уравнение: $\frac{12(t-2) - 3t}{t(t-2)} = 1$ $12(t-2) - 3t = t(t-2)$ $12t - 24 - 3t = t^2 - 2t$ $9t - 24 = t^2 - 2t$

Перенесем все в правую часть: $t^2 - 2t - 9t + 24 = 0$ $t^2 - 11t + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 11$ $t_1 \cdot t_2 = 24$ Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 8$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $t$ ($t \neq 0, t \neq 2$).

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. Если $t=3$: $x^2 + 2x = 3$ $x^2 + 2x - 3 = 0$ По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

2. Если $t=8$: $x^2 + 2x = 8$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ По теореме Виета, корни $x_3 = 2$, $x_4 = -4$.

Все найденные значения $x$ являются корнями исходного уравнения, так как для них $t$ не равно 0 или 2, что обеспечивает неравенство нулю знаменателей в исходном уравнении.

Ответ: -4; -3; 1; 2.