Номер 31.9, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.9. Найдите K, P и M так, чтобы было верным равенство:

1) $z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = (z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$;

2) $3z^5 - z^4 - 3z + 1 = (z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M)$;

3) $z^6 + 3z^3 + 2 = (z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

1) Для нахождения неизвестных коэффициентов $K$, $P$ и $M$ раскроем скобки в правой части равенства и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $z$ в левой и правой частях.

Исходное равенство: $z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = (z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z(z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^4 + Kz^3 + Pz^2 + Mz + z^3 + Kz^2 + Pz + M = z^4 + (K+1)z^3 + (P+K)z^2 + (M+P)z + M$.

Теперь приравниваем многочлены:

$z^4 + 2z^3 - 16z^2 - 2z + 15 = z^4 + (K+1)z^3 + (P+K)z^2 + (M+P)z + M$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$, получаем систему уравнений:

При $z^3$: $2 = K + 1$

При $z^2$: $-16 = P + K$

При $z$: $-2 = M + P$

Свободный член: $15 = M$

Решаем систему. Из последнего уравнения сразу получаем $M=15$.

Подставляем $M$ в уравнение для коэффициента при $z$: $-2 = 15 + P$, откуда $P = -2 - 15 = -17$.

Подставляем $P$ в уравнение для коэффициента при $z^2$: $-16 = -17 + K$, откуда $K = -16 + 17 = 1$.

Проверяем первое уравнение с найденным $K$: $2 = 1 + 1$, что верно.

Таким образом, $K=1$, $P=-17$, $M=15$.

Ответ: $K=1, P=-17, M=15$.

2) Аналогично первому пункту, раскроем скобки в правой части и сравним коэффициенты.

Исходное равенство: $3z^5 - z^4 - 3z + 1 = (z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z^2 + 1)(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^2(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(3z^3 + Kz^2 + Pz + M) = 3z^5 + Kz^4 + Pz^3 + Mz^2 + 3z^3 + Kz^2 + Pz + M = 3z^5 + Kz^4 + (P+3)z^3 + (M+K)z^2 + Pz + M$.

Приравниваем многочлены, добавив в левой части члены с нулевыми коэффициентами для наглядности:

$3z^5 - z^4 + 0z^3 + 0z^2 - 3z + 1 = 3z^5 + Kz^4 + (P+3)z^3 + (M+K)z^2 + Pz + M$.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

При $z^4$: $-1 = K$

При $z^3$: $0 = P + 3$

При $z^2$: $0 = M + K$

При $z$: $-3 = P$

Свободный член: $1 = M$

Из системы сразу находим: $K=-1$, $P=-3$, $M=1$.

Проверим оставшиеся уравнения с этими значениями.

Уравнение для $z^3$: $0 = P + 3 \implies 0 = -3 + 3$, что верно.

Уравнение для $z^2$: $0 = M + K \implies 0 = 1 + (-1)$, что верно.

Все значения согласуются.

Ответ: $K=-1, P=-3, M=1$.

3) Снова используем метод сравнения коэффициентов.

Исходное равенство: $z^6 + 3z^3 + 2 = (z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M)$.

Раскрываем скобки в правой части:

$(z^3 + 1)(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^3(z^3 + Kz^2 + Pz + M) + 1(z^3 + Kz^2 + Pz + M) = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + Mz^3 + z^3 + Kz^2 + Pz + M = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + (M+1)z^3 + Kz^2 + Pz + M$.

Приравниваем многочлены, добавив в левой части члены с нулевыми коэффициентами:

$z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 3z^3 + 0z^2 + 0z + 2 = z^6 + Kz^5 + Pz^4 + (M+1)z^3 + Kz^2 + Pz + M$.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему:

При $z^5$: $0 = K$

При $z^4$: $0 = P$

При $z^3$: $3 = M + 1$

При $z^2$: $0 = K$

При $z$: $0 = P$

Свободный член: $2 = M$

Из системы сразу получаем $K=0$ и $P=0$.

Из уравнения для свободного члена: $M=2$.

Проверим это значение в уравнении для $z^3$: $3 = M + 1 \implies 3 = 2 + 1$, что верно.

Ответ: $K=0, P=0, M=2$.