Номер 31.15, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.15.

1) Расстояние между двумя речными причалами равно 90 км. Теплоход на весь рейс в оба конца затрачивает 7,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $20\%$ от собственной скорости теплохода.

2) За 30 мин катер проходит по течению реки такое же расстояние, что и за 40 мин против течения, причем 2 км против течения он проходит за 10 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

1) Пусть $v_{\text{с}}$ — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) в км/ч. Тогда скорость течения реки, согласно условию, составляет 20% от собственной скорости, то есть $v_{\text{т}} = 0.2 \cdot v_{\text{с}}$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{\text{по теч.}} = v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = v_{\text{с}} + 0.2 v_{\text{с}} = 1.2 v_{\text{с}}$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{\text{пр. теч.}} = v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = v_{\text{с}} - 0.2 v_{\text{с}} = 0.8 v_{\text{с}}$ км/ч.

Расстояние между причалами равно $S = 90$ км. Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{\text{по теч.}} = \frac{S}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{90}{1.2 v_{\text{с}}}$ ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{\text{пр. теч.}} = \frac{S}{v_{\text{пр. теч.}}} = \frac{90}{0.8 v_{\text{с}}}$ ч.

Общее время на весь рейс в оба конца составляет $T = 7.5$ ч. Составим уравнение: $t_{\text{по теч.}} + t_{\text{пр. теч.}} = T$ $\frac{90}{1.2 v_{\text{с}}} + \frac{90}{0.8 v_{\text{с}}} = 7.5$

Вынесем общий множитель $\frac{90}{v_{\text{с}}}$ за скобки: $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{10}{12} + \frac{10}{8} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{5}{6} + \frac{5}{4} \right) = 7.5$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12: $\frac{90}{v_{\text{с}}} \left( \frac{10}{12} + \frac{15}{12} \right) = 7.5$ $\frac{90}{v_{\text{с}}} \cdot \frac{25}{12} = 7.5$

Выразим $v_{\text{с}}$: $v_{\text{с}} = \frac{90 \cdot 25}{12 \cdot 7.5}$ $v_{\text{с}} = \frac{90 \cdot 25}{90}$ $v_{\text{с}} = 25$ км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода равна 25 км/ч.

2) Пусть $v_{\text{с}}$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_{\text{т}}$ — скорость течения реки в км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $v_{\text{по теч.}} = v_{\text{с}} + v_{\text{т}}$, а скорость против течения — $v_{\text{пр. теч.}} = v_{\text{с}} - v_{\text{т}}$.

Из условия известно, что 2 км против течения катер проходит за 10 минут. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч. Найдем скорость катера против течения: $v_{\text{пр. теч.}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{время}} = \frac{2 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 12$ км/ч. Таким образом, мы получили первое уравнение: $v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = 12$

Также по условию катер проходит некоторое расстояние $S$ по течению за 30 минут и такое же расстояние $S$ против течения за 40 минут. Переведем время в часы: $t_{\text{по теч.}} = 30$ мин = $0.5$ ч. $t_{\text{пр. теч.}} = 40$ мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Расстояние можно выразить как произведение скорости на время: $S = v_{\text{по теч.}} \cdot t_{\text{по теч.}}$ $S = v_{\text{пр. теч.}} \cdot t_{\text{пр. теч.}}$ Поскольку расстояния равны, приравняем правые части: $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = v_{\text{пр. теч.}} \cdot \frac{2}{3}$

Мы уже знаем, что $v_{\text{пр. теч.}} = 12$ км/ч. Подставим это значение в уравнение: $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = 12 \cdot \frac{2}{3}$ $v_{\text{по теч.}} \cdot 0.5 = 8$ $v_{\text{по теч.}} = \frac{8}{0.5} = 16$ км/ч. Таким образом, мы получили второе уравнение: $v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = 16$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $\begin{cases} v_{\text{с}} - v_{\text{т}} = 12 \\ v_{\text{с}} + v_{\text{т}} = 16 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $v_{\text{с}}$: $(v_{\text{с}} - v_{\text{т}}) + (v_{\text{с}} + v_{\text{т}}) = 12 + 16$ $2v_{\text{с}} = 28$ $v_{\text{с}} = 14$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_{\text{с}}$ во второе уравнение, чтобы найти $v_{\text{т}}$: $14 + v_{\text{т}} = 16$ $v_{\text{т}} = 16 - 14$ $v_{\text{т}} = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 14 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.