Задания, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Проверьте, верны ли равенства:

$x^2 - a^2 = (x - a)(x + a^2)$

$x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + xa + a^2)$

$x^4 - a^4 = (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)$

...

Установите закономерность, рассмотрев, как изменяются слагаемые в скобках.
Является ли обобщением выше рассмотренных равенств равенство

$x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2} a + x^{n-3} a^2 + \dots + xa^{n-2} + a^{n-1})?$

Убедитесь, что оно верно, раскрыв скобки в его правой части.

Упростите выражение:

$(x + a)(x^2 - xa + a^2)$

$(x + a)(x^4 - x^3 a + x^2 a^2 - xa^3 + a^4)$

$(x + a)(x^6 - x^5 a + x^4 a^2 - x^3 a^3 + x^2 a^4 - xa^5 + a^6)$

...

Является ли обобщением выше рассмотренных равенств равенство

$x^{2n + 1} + a^{2n + 1} = (x + a)(x^{2n} - x^{2n - 1} a + x^{2n - 2} a^2 - \dots - xa^{2n - 1} + a^{2n})?$

Убедитесь, что оно верно, раскрыв скобки в его правой части.

Проверьте, верны ли равенства:

Для проверки верности равенств необходимо раскрыть скобки в правой части каждого из них.

1. $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a^2)$. В данном равенстве в правой части допущена опечатка. Правильная формула разности квадратов: $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$. Проверим ее: $(x - a)(x + a) = x \cdot x + x \cdot a - a \cdot x - a \cdot a = x^2 - a^2$. Выражение в левой части совпадает с результатом, значит, исправленное равенство верно. Если проверять исходное равенство из задания: $(x - a)(x + a^2) = x^2 + xa^2 - ax - a^3 \ne x^2 - a^2$.

2. $x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + xa + a^2)$. Раскроем скобки в правой части: $x(x^2 + xa + a^2) - a(x^2 + xa + a^2) = (x^3 + x^2a + xa^2) - (ax^2 + a^2x + a^3) = x^3 + x^2a + xa^2 - x^2a - xa^2 - a^3 = x^3 - a^3$. Равенство верно.

3. $x^4 - a^4 = (x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)$. Раскроем скобки в правой части: $x(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3) - a(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3) = (x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3) - (ax^3 + a^2x^2 + a^3x + a^4) = x^4 + x^3a + x^2a^2 + xa^3 - x^3a - x^2a^2 - xa^3 - a^4 = x^4 - a^4$. Равенство верно.

Ответ: Во втором и третьем случаях равенства верны. В первом равенстве допущена опечатка; после ее исправления на $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$ оно также становится верным.

Установите закономерность, рассмотрев, как изменяются слагаемые в скобках. Является ли обобщением выше рассмотренных равенств равенство $x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2} a + x^{n-3} a^2 + \dots + xa^{n-2} + a^{n-1})$? Убедитесь, что оно верно, раскрыв скобки в его правой части.

Анализируя представленные формулы, можно выявить следующую закономерность для разложения $x^n - a^n$: первый множитель всегда равен $(x-a)$. Второй множитель является многочленом, который содержит $n$ слагаемых. В каждом слагаемом этого многочлена сумма степеней $x$ и $a$ равна $n-1$. Степень $x$ последовательно уменьшается на 1 (от $n-1$ до 0), а степень $a$ последовательно увеличивается на 1 (от 0 до $n-1$). Все коэффициенты при слагаемых равны +1.

Представленное равенство $x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2} a + \dots + a^{n-1})$ является обобщением рассмотренных частных случаев.

Чтобы убедиться в его верности, раскроем скобки в правой части. Сначала умножим каждый член второй скобки на $x$, а затем на $-a$:

$x(x^{n-1} + x^{n-2} a + \dots + a^{n-1}) = x^n + x^{n-1} a + x^{n-2} a^2 + \dots + xa^{n-1}$

$-a(x^{n-1} + x^{n-2} a + \dots + a^{n-1}) = -x^{n-1} a - x^{n-2} a^2 - \dots - xa^{n-1} - a^n$

Теперь сложим полученные результаты:

$(x^n + x^{n-1} a + x^{n-2} a^2 + \dots + xa^{n-1}) + (-x^{n-1} a - x^{n-2} a^2 - \dots - xa^{n-1} - a^n)$

Все промежуточные слагаемые ($x^{n-1}a$ и $-x^{n-1}a$, $x^{n-2}a^2$ и $-x^{n-2}a^2$, и т.д.) взаимно уничтожаются. Остаются только первый член из первого произведения ($x^n$) и последний член из второго ($-a^n$).

В итоге получаем $x^n - a^n$, что доказывает верность обобщенной формулы.

Ответ: Да, является обобщением. Равенство верно, что подтверждается раскрытием скобок.

Упростите выражение:

1. $(x + a)(x^2 - xa + a^2)$. Это известная формула суммы кубов. Раскроем скобки: $x(x^2 - xa + a^2) + a(x^2 - xa + a^2) = (x^3 - x^2a + xa^2) + (ax^2 - a^2x + a^3) = x^3 - x^2a + xa^2 + x^2a - xa^2 + a^3 = x^3 + a^3$.

2. $(x + a)(x^4 - x^3 a + x^2 a^2 - xa^3 + a^4)$. Раскроем скобки по аналогии: $x(x^4 - x^3 a + \dots + a^4) + a(x^4 - x^3 a + \dots + a^4) = (x^5 - x^4a + x^3a^2 - x^2a^3 + xa^4) + (ax^4 - a^2x^3 + a^3x^2 - a^4x + a^5)$. После приведения подобных слагаемых все промежуточные члены сокращаются: $x^5 - x^4a + x^3a^2 - x^2a^3 + xa^4 + x^4a - x^3a^2 + x^2a^3 - xa^4 + a^5 = x^5 + a^5$.

3. $(x + a)(x^6 - x^5 a + x^4 a^2 - x^3 a^3 + x^2 a^4 - xa^5 + a^6)$. Заметив закономерность (сумма нечетных степеней), можно сразу дать ответ. Для $n=3$ получили $x^3+a^3$, для $n=5$ получили $x^5+a^5$. В данном случае степень равна 7, поэтому результат будет $x^7+a^7$.

Ответ: 1) $x^3 + a^3$; 2) $x^5 + a^5$; 3) $x^7 + a^7$.

Является ли обобщением выше рассмотренных равенств равенство $x^{2n+1} + a^{2n+1}=(x+a)(x^{2n} - x^{2n-1} a + x^{2n-2} a^2 - \dots - xa^{2n-1} + a^{2n})$? Убедитесь, что оно верно, раскрыв скобки в его правой части.

Да, данное равенство является обобщением формулы для суммы двух слагаемых в нечетной степени (показатель $2n+1$ всегда нечетный при целом $n \ge 0$).

Убедимся в его верности, раскрыв скобки в правой части. Умножим многочлен во второй скобке на $x$ и на $a$:

$x(x^{2n} - x^{2n-1} a + \dots + a^{2n}) = x^{2n+1} - x^{2n} a + x^{2n-1} a^2 - \dots + xa^{2n}$

$a(x^{2n} - x^{2n-1} a + \dots + a^{2n}) = x^{2n} a - x^{2n-1} a^2 + \dots - xa^{2n} + a^{2n+1}$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^{2n+1} - x^{2n} a + x^{2n-1} a^2 - \dots + xa^{2n}) + (x^{2n} a - x^{2n-1} a^2 + \dots - xa^{2n} + a^{2n+1})$

Из-за чередования знаков во втором множителе все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (например, $-x^{2n}a$ и $+x^{2n}a$, $+x^{2n-1}a^2$ и $-x^{2n-1}a^2$, и т.д.). Остаются только первый член $x^{2n+1}$ и последний $a^{2n+1}$.

В результате получаем $x^{2n+1} + a^{2n+1}$, что доказывает верность обобщенной формулы.

Ответ: Да, является. Равенство верно для любой нечетной степени, что доказывается раскрытием скобок.