Номер 32.2, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.2. Запишите многочлен 4-й степени, корнями которого являются числа:

1) -2, 0, 2, 3;

2) -3, -1, 1, 3;

3) -3, -1, 0, 3;

4) -2, 1, 2, 5.

1) Для того чтобы составить многочлен 4-й степени, корнями которого являются числа $-2, 0, 2, 3$, воспользуемся свойством, что если $r$ является корнем многочлена $P(x)$, то $(x-r)$ является его множителем. Таким образом, многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей, соответствующих каждому корню. Для простоты выберем старший коэффициент равным 1.$P(x) = (x - (-2))(x - 0)(x - 2)(x - 3) = (x+2)x(x-2)(x-3)$.

Для упрощения выражения сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:$P(x) = x(x+2)(x-2)(x-3) = x(x^2 - 4)(x-3)$.

Далее, раскроем оставшиеся скобки:$P(x) = x(x^3 - 3x^2 - 4x + 12) = x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x$.

Это и есть искомый многочлен 4-й степени.

Ответ: $x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x$.

2) Корни многочлена: $-3, -1, 1, 3$. Составим многочлен как произведение множителей $(x-r)$ для каждого корня $r$, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-3))(x - (-1))(x - 1)(x - 3) = (x+3)(x+1)(x-1)(x-3)$.

Сгруппируем множители парами, чтобы применить формулу разности квадратов:$P(x) = ((x+3)(x-3)) \cdot ((x+1)(x-1)) = (x^2 - 3^2)(x^2 - 1^2) = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$.

Теперь раскроем скобки, перемножив два двучлена:$P(x) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot (-1) - 9 \cdot x^2 - 9 \cdot (-1) = x^4 - x^2 - 9x^2 + 9$.

Приведем подобные члены:$P(x) = x^4 - 10x^2 + 9$.

Ответ: $x^4 - 10x^2 + 9$.

3) Корни многочлена: $-3, -1, 0, 3$. Запишем многочлен в виде произведения множителей, соответствующих корням, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-3))(x - (-1))(x - 0)(x - 3) = (x+3)(x+1)x(x-3)$.

Сгруппируем множители для удобства вычислений:$P(x) = x((x+3)(x-3))(x+1) = x(x^2 - 9)(x+1)$.

Последовательно раскроем скобки:$P(x) = x(x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 - 9 \cdot x - 9 \cdot 1) = x(x^3 + x^2 - 9x - 9)$.

$P(x) = x^4 + x^3 - 9x^2 - 9x$.

Ответ: $x^4 + x^3 - 9x^2 - 9x$.

4) Корни многочлена: $-2, 1, 2, 5$. Составим многочлен как произведение множителей $(x-r)$ для каждого корня $r$, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 2)(x - 5) = (x+2)(x-1)(x-2)(x-5)$.

Сгруппируем множители:$P(x) = ((x+2)(x-2)) \cdot ((x-1)(x-5))$.

Раскроем скобки в каждой группе:$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$.

$(x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$.

Теперь перемножим полученные многочлены:$P(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 6x + 5) = x^2(x^2 - 6x + 5) - 4(x^2 - 6x + 5)$.

$P(x) = x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 4x^2 + 24x - 20$.

Приведем подобные члены:$P(x) = x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$.

Ответ: $x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$.