Номер 32.6, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.6. Докажите, что при любом нечетном натуральном $n$ значение выражения:

1) $5^n + 2^n$ делится на 7;

2) $5^n + 11^n + 2$ делится на 6;

3) $5^n + 13 \cdot 11^{2n} - 4$ делится на 6.

1) Докажем, что выражение $5^n + 2^n$ делится на 7 при любом нечетном натуральном $n$.

Для доказательства воспользуемся формулой суммы степеней для нечетного показателя: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$. Данная формула верна, когда $n$ является нечетным натуральным числом.

В нашем случае $a=5$ и $b=2$. Поскольку по условию $n$ — нечетное число, мы можем применить эту формулу:

$5^n + 2^n = (5+2)(5^{n-1} - 5^{n-2} \cdot 2 + 5^{n-3} \cdot 2^2 - \dots + 2^{n-1})$

$5^n + 2^n = 7 \cdot (5^{n-1} - 5^{n-2} \cdot 2 + \dots + 2^{n-1})$

В полученном произведении один из множителей равен 7. Следовательно, все выражение $5^n + 2^n$ делится на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $5^n + 11^n + 2$ делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Для того чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.

1. Докажем делимость на 2 (проверка на четность).

Число 5 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень $5^n$ также будет нечетным числом.

Аналогично, число 11 является нечетным, поэтому его степень $11^n$ также будет нечетной.

Сумма двух нечетных чисел ($5^n + 11^n$) является четным числом.

Если к четному числу ($5^n + 11^n$) прибавить четное число 2, результат ($5^n + 11^n + 2$) также будет четным. Следовательно, выражение делится на 2.

2. Докажем делимость на 3.

Воспользуемся методом сравнений по модулю 3. Нам нужно показать, что $5^n + 11^n + 2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Найдем остатки от деления оснований степеней на 3:

$5 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

$11 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $11 \equiv -1 \pmod{3}$.

Поскольку по условию $n$ — нечетное число, то $5^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{3}$ и $11^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{3}$.

Подставим полученные сравнения в исходное выражение:

$5^n + 11^n + 2 \equiv (-1) + (-1) + 2 \pmod{3}$

$5^n + 11^n + 2 \equiv -2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что выражение делится на 3.

Так как выражение $5^n + 11^n + 2$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми, то оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что выражение $5^n + 13 \cdot 11^{2n} - 4$ делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Данное утверждение, по всей видимости, содержит ошибку. Проверим его, подставив в выражение наименьшее нечетное натуральное число, $n=1$.

При $n=1$ выражение принимает вид:

$5^1 + 13 \cdot 11^{2 \cdot 1} - 4 = 5 + 13 \cdot 11^2 - 4 = 5 + 13 \cdot 121 - 4 = 5 + 1573 - 4 = 1574$.

Число 1574 не делится на 6 без остатка ($1574 = 6 \cdot 262 + 2$). В частности, оно не делится на 3, так как сумма его цифр $1+5+7+4=17$ не кратна 3. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду выражение $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$. Докажем, что это исправленное выражение делится на 6 для любого нечетного натурального $n$.

Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю 6.

Рассмотрим остатки от деления на 6 для каждого слагаемого в выражении $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$:

1. $5 \equiv -1 \pmod 6$. Так как $n$ — нечетное, то $5^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod 6$.

2. $13 = 2 \cdot 6 + 1$, отсюда $13 \equiv 1 \pmod 6$.

3. $11 \equiv -1 \pmod 6$. Так как $n$ — нечетное, то $11^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod 6$.

4. $4 \equiv 4 \pmod 6$.

Теперь подставим эти сравнения в выражение:

$5^n + 13 \cdot 11^n - 4 \equiv (-1) + 1 \cdot (-1) - 4 \pmod 6$

$\equiv -1 - 1 - 4 \pmod 6$

$\equiv -6 \pmod 6$

$\equiv 0 \pmod 6$

Поскольку остаток от деления выражения $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$ на 6 равен 0, оно делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Ответ: Утверждение в задаче в исходном виде неверно. Если предположить опечатку в условии и рассмотреть выражение $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$, то оно действительно делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$, что и было доказано.