Номер 32.11, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.11. Найдите целые корни и разложите на множители многочлен:

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6;$

2) $x^4 + 5x^2 - 6;$

3) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2;$

4) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6.$

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$

Для нахождения целых корней многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа 6. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим эти значения подстановкой в многочлен:

$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на двучлен $(x - (-1)) = (x + 1)$, например, используя схему Горнера или деление столбиком.

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни легко подбираются: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, все целые корни многочлена найдены: -1, 2, 3.

Разложение на множители имеет вид: $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$.

Ответ: Целые корни: -1, 2, 3. Разложение на множители: $(x+1)(x-2)(x-3)$.

2) $x^4 + 5x^2 - 6$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$ (где $y \ge 0$).

Уравнение примет вид: $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$.

Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. $x^2 = y_1 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_1 = 1, x_2 = -1$. Это целые корни.

2. $x^2 = y_2 = -6$. Это уравнение не имеет действительных корней, а значит и целых.

Для разложения на множители используем найденные значения $y$:

$y^2 + 5y - 6 = (y - 1)(y + 6)$.

Подставляем обратно $y = x^2$:

$x^4 + 5x^2 - 6 = (x^2 - 1)(x^2 + 6)$.

Первый множитель можно разложить как разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Множитель $x^2 + 6$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Целые корни: 1, -1. Разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x^2+6)$.

3) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$

Пусть $P(x) = x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$. Целые корни могут быть только среди делителей свободного члена 2: $\pm1, \pm2$.

Проверим их:

$P(1) = 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

$P(-1) = 1 - 2(-1) - 6(1) + 5(-1) + 2 = 1 + 2 - 6 - 5 + 2 = -6 \neq 0$.

$P(2) = 16 - 2(8) - 6(4) + 5(2) + 2 = 16 - 16 - 24 + 10 + 2 = -8 \neq 0$.

$P(-2) = 16 - 2(-8) - 6(4) + 5(-2) + 2 = 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0$. Значит, $x_2 = -2$ является корнем.

Так как мы нашли два корня, 1 и -2, многочлен делится на произведение $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$. Выполним деление многочлена $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$ на $x^2 + x - 2$ столбиком.

$(x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2) : (x^2 + x - 2) = x^2 - 3x - 1$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 1)$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 1 = 0$ через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ являются иррациональными.

Следовательно, других целых корней у исходного многочлена нет.

Ответ: Целые корни: 1, -2. Разложение на множители: $(x-1)(x+2)(x^2 - 3x - 1)$.

4) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Пусть $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$. Целые корни ищем среди делителей числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим их:

$P(1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

$P(-1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$. Значит, $x_2 = -1$ является корнем.

$P(2) = 16 + 8 - 7(4) - 2 + 6 = 24 - 28 - 2 + 6 = 0$. Значит, $x_3 = 2$ является корнем.

$P(-3) = 81 - 27 - 7(9) - (-3) + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x_4 = -3$ является корнем.

Мы нашли 4 целых корня для многочлена 4-й степени: 1, -1, 2, -3. Это все его корни.

Разложение на множители имеет вид: $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$.

$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x - 1)(x - (-1))(x - 2)(x - (-3)) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.

Ответ: Целые корни: 1, -1, 2, -3. Разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.