Номер 32.8, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.8. Найдите корни симметрического многочлена:

1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1;$

2) $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1;$

3) $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1;$

4) $2x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 5x + 2;$

5) $x^3 - 2x^2 - 2x + 1;$

6) $x^5 + 2x^3 + 2x^2 + 1.$

1) Решим уравнение $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 5x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) + 5y + 2 = 0$

$y^2 + 5y = 0$

$y(y+5) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -5$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $y_1=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y_2=-5$: $x + \frac{1}{x} = -5 \implies x^2 + 5x + 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня многочлена.

Ответ: $\frac{-5 - \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, -i, i$.

2) Решим уравнение $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение четвертой степени. Разделим его на $x^2$ (так как $x=0$ не корень):

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$.

1. При $y_1=1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

2. При $y_2=-3$: $x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня.

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.

3) Решим уравнение $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$.

Хотя этот многочлен не является симметрическим в строгом смысле (коэффициенты при $x^3$ и $x$ противоположны), он решается методом группировки.

Перепишем уравнение, выделив полный квадрат:

$x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x^2+x)^2 - 2(x^2+x) + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом относительно $z = x^2+x$:

$z^2 - 2z + 1 = 0 \implies (z-1)^2 = 0$

Отсюда $z=1$.

Сделаем обратную замену:

$x^2+x = 1 \implies x^2+x-1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку исходное уравнение эквивалентно $(x^2+x-1)^2=0$, каждый из этих двух корней имеет кратность 2.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ (кратность 2), $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ (кратность 2).

4) Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 5x + 2 = 0$.

Это симметрическое уравнение. Разделим его на $x^2$ ($x=0$ не корень):

$2x^2 - 5x + 4 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 5(x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$

Замена $y = x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$:

$2(y^2 - 2) - 5y + 4 = 0$

$2y^2 - 4 - 5y + 4 = 0$

$2y^2 - 5y = 0$

$y(2y - 5) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{5}{2}$.

Вернемся к $x$.

1. При $y_1=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y_2=\frac{5}{2}$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Это уравнение можно разложить на множители: $(2x-1)(x-2)=0$.

$x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = 2$.

Таким образом, найдены все корни.

Ответ: $\frac{1}{2}, 2, -i, i$.

5) Решим уравнение $x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение нечетной степени, следовательно, $x=-1$ является его корнем. Проверим: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$.

Разделим многочлен на $(x+1)$ с помощью схемы Горнера или деления столбиком:

$(x^3 - 2x^2 - 2x + 1) \div (x+1) = x^2 - 3x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 - 3x + 1) = 0$.

Один корень $x_1 = -1$. Остальные два корня найдем из уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Найдены все три корня.

Ответ: $-1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

6) Решим уравнение $x^5 + 2x^3 + 2x^2 + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение нечетной степени (коэффициенты: 1, 0, 2, 2, 0, 1), значит, $x=-1$ является корнем. Проверка: $(-1)^5 + 2(-1)^3 + 2(-1)^2 + 1 = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$.

Разложим многочлен на множители, выделив $(x+1)$:

$(x^5+1) + (2x^3+2x^2) = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) + 2x^2(x+1) = 0$

$(x+1)(x^4-x^3+3x^2-x+1) = 0$

Один корень $x_1=-1$. Остальные четыре корня найдем из уравнения $x^4-x^3+3x^2-x+1=0$.

Разделим на $x^2$ ($x=0$ не корень):

$x^2-x+3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$(x^2+\frac{1}{x^2}) - (x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$

Сделаем замену $y=x+\frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.

$(y^2-2) - y + 3 = 0 \implies y^2-y+1=0$.

Решим уравнение для $y$: $D = (-1)^2 - 4 = -3$, $y = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

$y_1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$, $y_2 = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$.

Вернемся к $x$, решив два уравнения $x+\frac{1}{x}=y$ или $x^2-yx+1=0$.

1. Для $y_1$: $x = \frac{y_1 \pm \sqrt{y_1^2-4}}{2}$. Вычислим $y_1^2-4 = (\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^2-4 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-4 = \frac{-9+i\sqrt{3}}{2}$.

$x_{2,3} = \frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$.

2. Для $y_2$: $x = \frac{y_2 \pm \sqrt{y_2^2-4}}{2}$. Вычислим $y_2^2-4 = (\frac{1-i\sqrt{3}}{2})^2-4 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}-4 = \frac{-9-i\sqrt{3}}{2}$.

$x_{4,5} = \frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$.

Ответ: $-1$, и четыре комплексных корня: $\frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} - \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} - \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$.