Номер 32.9, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.9. Используя схему Горнера, найдите все значения параметра $a$, при которых число $p$ является корнем многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1:$

1) $p = 1$;

2) $p = 2$;

3) $p = -3$;

4) $p = 0,5$.

Для того чтобы число $p$ было корнем многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$, необходимо, чтобы остаток от деления $P(x)$ на двучлен $(x-p)$ был равен нулю. Мы найдем этот остаток для каждого из заданных значений $p$ с помощью схемы Горнера. Коэффициенты многочлена $P(x)$, записанные в порядке убывания степеней, равны $1, -3, 1, a, -1$.

1) p = 1;

Применим схему Горнера для $p=1$. Последовательно вычисляем коэффициенты частного и остаток:

$b_3 = 1$

$b_2 = 1 \cdot 1 + (-3) = -2$

$b_1 = 1 \cdot (-2) + 1 = -1$

$b_0 = 1 \cdot (-1) + a = a-1$

Остаток $R = 1 \cdot (a-1) + (-1) = a-2$.

Приравнивая остаток к нулю, получаем уравнение: $a-2=0$.

Из этого уравнения находим $a=2$.

Ответ: $a=2$.

2) p = 2;

Применим схему Горнера для $p=2$.

$b_3 = 1$

$b_2 = 2 \cdot 1 + (-3) = -1$

$b_1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$

$b_0 = 2 \cdot (-1) + a = a-2$

Остаток $R = 2 \cdot (a-2) + (-1) = 2a-4-1 = 2a-5$.

Приравниваем остаток к нулю: $2a-5=0$.

Из этого уравнения находим $2a=5$, следовательно, $a=2,5$.

Ответ: $a=2,5$.

3) p = -3;

Применим схему Горнера для $p=-3$.

$b_3 = 1$

$b_2 = (-3) \cdot 1 + (-3) = -6$

$b_1 = (-3) \cdot (-6) + 1 = 18+1 = 19$

$b_0 = (-3) \cdot 19 + a = -57+a$

Остаток $R = (-3) \cdot (a-57) + (-1) = -3a+171-1 = -3a+170$.

Приравниваем остаток к нулю: $-3a+170=0$.

Из этого уравнения находим $3a=170$, следовательно, $a=\frac{170}{3}$.

Ответ: $a=\frac{170}{3}$.

4) p = 0,5.

Применим схему Горнера для $p=0,5=\frac{1}{2}$. Для удобства будем вести расчеты в обыкновенных дробях.

$b_3 = 1$

$b_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + (-3) = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$

$b_1 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{2}) + 1 = -\frac{5}{4} + 1 = -\frac{1}{4}$

$b_0 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4}) + a = a - \frac{1}{8}$

Остаток $R = \frac{1}{2} \cdot (a - \frac{1}{8}) - 1 = \frac{a}{2} - \frac{1}{16} - 1 = \frac{a}{2} - \frac{17}{16}$.

Приравниваем остаток к нулю: $\frac{a}{2} - \frac{17}{16} = 0$.

Из этого уравнения находим $\frac{a}{2} = \frac{17}{16}$, откуда $a = \frac{17 \cdot 2}{16} = \frac{17}{8}$.

Ответ: $a=\frac{17}{8}$.