Номер 32.10, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.10. Найдите остаток от деления выражения $(x^4 - 6x^2 + 8)(x^4 - 2x^2 - 8)$ на $(x - 2)^2$.

Обозначим делимое как $P(x) = (x^4 - 6x^2 + 8)(x^4 - 2x^2 - 8)$ и делитель как $D(x) = (x-2)^2$.При делении многочлена $P(x)$ на многочлен $D(x)$ мы получаем равенство:$P(x) = Q(x)D(x) + R(x)$,где $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток.Степень остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени делителя $D(x)$.Степень $D(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ равна 2. Следовательно, остаток $R(x)$ является многочленом степени не выше 1, то есть $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые константы.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Разложение на множители

Разложим на множители каждый из сомножителей в выражении для $P(x)$. Оба являются биквадратными трехчленами. Сделаем замену $y = x^2$.

1. Первый сомножитель: $x^4 - 6x^2 + 8$. После замены получаем $y^2 - 6y + 8$.Корни уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$ — это $y_1=2$ и $y_2=4$.Таким образом, $y^2 - 6y + 8 = (y-2)(y-4)$.Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$x^4 - 6x^2 + 8 = (x^2-2)(x^2-4) = (x^2-2)(x-2)(x+2)$.

2. Второй сомножитель: $x^4 - 2x^2 - 8$. После замены получаем $y^2 - 2y - 8$.Корни уравнения $y^2 - 2y - 8 = 0$ — это $y_1=4$ и $y_2=-2$.Таким образом, $y^2 - 2y - 8 = (y-4)(y+2)$.Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$x^4 - 2x^2 - 8 = (x^2-4)(x^2+2) = (x-2)(x+2)(x^2+2)$.

Теперь перемножим полученные разложения, чтобы найти $P(x)$:$P(x) = [(x^2-2)(x-2)(x+2)] \cdot [(x-2)(x+2)(x^2+2)]$Сгруппировав множители, получим:$P(x) = (x-2)(x-2) \cdot (x+2)(x+2) \cdot (x^2-2)(x^2+2)$$P(x) = (x-2)^2 (x+2)^2 (x^4-4)$

Из этого вида многочлена $P(x)$ видно, что он содержит множитель $(x-2)^2$. Это означает, что $P(x)$ делится на $(x-2)^2$ без остатка.$P(x) = [(x+2)^2(x^4-4)] \cdot (x-2)^2$.Здесь частное $Q(x) = (x+2)^2(x^4-4)$, а остаток $R(x) = 0$.

Способ 2: Использование теоремы Безу и ее следствий

Как было установлено ранее, $P(x) = Q(x)(x-2)^2 + ax + b$.Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$.

1. Подставим в равенство корень делителя $x=2$:$P(2) = Q(2)(2-2)^2 + a(2) + b$$P(2) = 0 + 2a + b \Rightarrow P(2) = 2a + b$.Вычислим значение $P(2)$:$P(2) = (2^4 - 6 \cdot 2^2 + 8)(2^4 - 2 \cdot 2^2 - 8) = (16 - 6 \cdot 4 + 8)(16 - 2 \cdot 4 - 8) = (16 - 24 + 8)(16 - 8 - 8) = (0)(0) = 0$.Следовательно, $2a + b = 0$.

2. Поскольку делитель $(x-2)^2$ имеет кратный корень $x=2$, мы можем продифференцировать тождество $P(x) = Q(x)(x-2)^2 + ax + b$ и снова подставить $x=2$.Найдем производную $P'(x)$:$P'(x) = (Q(x)(x-2)^2)' + (ax+b)'$$P'(x) = [Q'(x)(x-2)^2 + Q(x) \cdot 2(x-2)] + a$.Подставим $x=2$:$P'(2) = [Q'(2)(2-2)^2 + Q(2) \cdot 2(2-2)] + a = 0 + a \Rightarrow P'(2) = a$.Теперь найдем значение производной $P'(x)$ в точке $x=2$.$P(x) = f(x)g(x)$, где $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8$ и $g(x) = x^4 - 2x^2 - 8$.По правилу производной произведения: $P'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.Мы уже знаем, что $f(2)=0$ и $g(2)=0$.$P'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = f'(2) \cdot 0 + 0 \cdot g'(2) = 0$.Таким образом, $a = P'(2) = 0$.

3. Из системы уравнений:$\begin{cases} 2a+b=0 \\ a=0 \end{cases}$находим, что $a=0$ и $b=0$.

Остаток от деления $R(x) = ax + b = 0 \cdot x + 0 = 0$.Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0$.