Номер 32.14, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.14. 1) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 1, при делении на двучлен $x + 2$ остаток равен 8. Известно, что число 2 является корнем многочлена. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$.

2) При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, при делении на двучлен $x + 1$ остаток равен 5. Известно, что корень многочлена равен $0,5$. Найдите остаток от деления этого многочлена на $(x - 3)(x - 2)(x + 1)$.

1) Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен $P(a)$. Исходя из условий задачи, мы имеем следующие сведения:

1. При делении $P(x)$ на $x-1$ остаток равен 1, следовательно, $P(1) = 1$.

2. При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 8, следовательно, $P(-2) = 8$.

3. Число 2 является корнем многочлена, следовательно, $P(2) = 0$.

Нам нужно найти остаток от деления $P(x)$ на многочлен третьей степени $(x-1)(x-2)(x+2)$. При делении на многочлен третьей степени остаток $R(x)$ будет многочленом степени не выше второй. Запишем его в общем виде: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Запишем деление $P(x)$ с остатком:

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+2) \cdot Q(x) + R(x)$, где $Q(x)$ — частное.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+2) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$.

Теперь воспользуемся известными значениями $P(x)$:

Для $x=1$: $P(1) = (1-1)(1-2)(1+2) \cdot Q(1) + a(1)^2 + b(1) + c = 0 \cdot Q(1) + a+b+c$. Так как $P(1)=1$, получаем первое уравнение: $a+b+c = 1$.

Для $x=2$: $P(2) = (2-1)(2-2)(2+2) \cdot Q(2) + a(2)^2 + b(2) + c = 0 \cdot Q(2) + 4a+2b+c$. Так как $P(2)=0$, получаем второе уравнение: $4a+2b+c = 0$.

Для $x=-2$: $P(-2) = (-2-1)(-2-2)(-2+2) \cdot Q(-2) + a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \cdot Q(-2) + 4a-2b+c$. Так как $P(-2)=8$, получаем третье уравнение: $4a-2b+c = 8$.

Получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $a, b, c$:

$ \begin{cases} a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ 4a - 2b + c = 8 \end{cases} $

Вычтем третье уравнение из второго: $(4a+2b+c) - (4a-2b+c) = 0 - 8$, что дает $4b = -8$, откуда $b = -2$.

Подставим $b=-2$ в первое и второе уравнения:

$ \begin{cases} a - 2 + c = 1 \\ 4a + 2(-2) + c = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a + c = 3 \\ 4a + c = 4 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 4-3$, что дает $3a=1$, откуда $a = \frac{1}{3}$.

Найдем $c$ из уравнения $a+c=3$: $\frac{1}{3} + c = 3$, откуда $c = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.

Таким образом, коэффициенты найдены: $a=\frac{1}{3}, b=-2, c=\frac{8}{3}$.

Остаток от деления $R(x) = ax^2+bx+c = \frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{8}{3}$.

2) В условии этой задачи, по-видимому, содержится опечатка. Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на $(x-3)(x-2)(x+1)$ необходимо знать значения $P(3)$, $P(2)$ и $P(-1)$. Однако в условии даны значения $P(1)=3$, $P(-1)=5$ и корень $x=0,5$ (т.е. $P(0,5)=0$).

Наиболее вероятная версия исправленного условия, которая позволяет решить задачу, следующая: корень многочлена равен 2 (вместо 0,5), а делитель — это $(x-1)(x-2)(x+1)$ (вместо $(x-3)(x-2)(x+1)$).

Решим задачу для этого исправленного условия. Пусть $P(x)$ — исходный многочлен.

1. При делении $P(x)$ на $x-1$ остаток равен 3, следовательно, $P(1) = 3$.

2. При делении $P(x)$ на $x+1$ остаток равен 5, следовательно, $P(-1) = 5$.

3. Число 2 является корнем многочлена, следовательно, $P(2) = 0$.

Ищем остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ от деления $P(x)$ на многочлен $(x-1)(x-2)(x+1)$.

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+1) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$.

Подставим известные значения:

Для $x=1$: $P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c$. Так как $P(1)=3$, получаем $a+b+c = 3$.

Для $x=2$: $P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a+2b+c$. Так как $P(2)=0$, получаем $4a+2b+c = 0$.

Для $x=-1$: $P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a-b+c$. Так как $P(-1)=5$, получаем $a-b+c = 5$.

Получили систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ a - b + c = 5 \end{cases} $

Вычтем третье уравнение из первого: $(a+b+c) - (a-b+c) = 3 - 5$, что дает $2b = -2$, откуда $b = -1$.

Подставим $b=-1$ в первое и второе уравнения:

$ \begin{cases} a - 1 + c = 3 \\ 4a + 2(-1) + c = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a + c = 4 \\ 4a + c = 2 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 2-4$, что дает $3a=-2$, откуда $a = -\frac{2}{3}$.

Найдем $c$ из уравнения $a+c=4$: $-\frac{2}{3} + c = 4$, откуда $c = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Коэффициенты остатка: $a=-\frac{2}{3}, b=-1, c=\frac{14}{3}$.

Остаток от деления $R(x) = ax^2+bx+c = -\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{14}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x^2 - x + \frac{14}{3}$.