Вопросы, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем заключается суть метода неопределенных коэффициентов?

2. Имеет ли приведенный многочлен рациональные корни, если он не имеет целых корней?

3. Что означают предложения: "Корень многочлена равен нулю", "Значение многочлена равно нулю"?

1. В чем заключается суть метода неопределенных коэффициентов?

Суть метода неопределенных коэффициентов заключается в том, чтобы найти неизвестные параметры (коэффициенты) некоторого выражения, представив его в заранее предполагаемом виде. Метод основан на тождественном равенстве двух выражений (чаще всего многочленов): если два многочлена тождественно равны, то коэффициенты при одинаковых степенях переменной у них также равны.

Алгоритм применения метода обычно следующий:

1. Записывают искомое выражение (например, разложение многочлена на множители или разложение дроби на простейшие) в общем виде с неизвестными, "неопределенными" коэффициентами (например, $A, B, C, \dots$).

2. Приводят полученное выражение к тому же виду, что и исходное (например, раскрывают скобки и группируют слагаемые по степеням переменной).

3. Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной в исходном и полученном выражениях.

4. Решают полученную систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов, находя таким образом их значения.

Например, чтобы разложить многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на множители, зная, что один из корней равен 1, мы можем предположить, что разложение имеет вид $(x-1)(x^2 + Ax + B)$. Раскрыв скобки, получим $x^3 + Ax^2 + Bx - x^2 - Ax - B = x^3 + (A-1)x^2 + (B-A)x - B$. Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$x^2: A-1 = -6$

$x^1: B-A = 11$

$x^0: -B = -6$

Из этой системы легко найти, что $B=6$ и $A=-5$. Таким образом, разложение имеет вид $(x-1)(x^2 - 5x + 6)$.

Ответ: Метод заключается в предположении вида искомого выражения с неизвестными коэффициентами, последующем приведении его к стандартному виду и нахождении этих коэффициентов путем решения системы уравнений, полученной из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

2. Имеет ли приведенный многочлен рациональные корни, если он не имеет целых корней?

Нет, не имеет. Это следует из теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема гласит: если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = p/q$ (где дробь $p/q$ несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Приведенный многочлен — это многочлен, у которого старший коэффициент равен единице, то есть $a_n = 1$.

Для приведенного многочлена с целыми коэффициентами любой его рациональный корень $x = p/q$ должен удовлетворять условиям: $p$ — делитель $a_0$, а $q$ — делитель $a_n=1$.

Единственными целыми делителями числа 1 являются $1$ и $-1$. Следовательно, знаменатель $q$ может быть равен только $1$ или $-1$.

Это означает, что любой рациональный корень $p/q$ такого многочлена будет иметь вид $p/(\pm 1) = \pm p$, где $p$ — целое число (делитель $a_0$). То есть любой рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами обязан быть целым числом.

Таким образом, если у приведенного многочлена с целыми коэффициентами нет целых корней, то у него не может быть и других рациональных (дробных) корней.

Ответ: Нет, приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь рациональные корни, если он не имеет целых корней, так как все его рациональные корни являются целыми числами.

3. Что означают предложения: “Корень многочлена равен нулю”, “Значение многочлена равно нулю”?

Эти два предложения имеют разный смысл, хотя и тесно связаны.

Предложение "Корень многочлена равен нулю" означает, что число $0$ является корнем данного многочлена. Корень многочлена $P(x)$ — это такое значение переменной $x$, при подстановке которого в многочлен результат вычисления будет равен нулю. Таким образом, эта фраза утверждает, что $x=0$ является решением уравнения $P(x)=0$. Математически это записывается как $P(0)=0$. Это также означает, что свободный член многочлена равен нулю ($a_0=0$), и многочлен можно представить в виде $P(x) = x \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый другой многочлен.

Предложение "Значение многочлена равно нулю" означает, что результат вычисления многочлена $P(x)$ при некотором значении переменной $x$ равен нулю. Математически это записывается как $P(x)=0$. Это утверждение является уравнением, которое мы решаем, чтобы найти корни многочлена. Само по себе оно не указывает, при каком именно значении $x$ это происходит. Любое значение $x$, для которого это равенство верно, по определению является корнем многочлена.

Таким образом, первая фраза говорит о конкретном значении корня ($x=0$), а вторая описывает общее условие, которому удовлетворяет любой корень многочлена.

Ответ: "Корень многочлена равен нулю" означает, что $x=0$ является решением уравнения $P(x)=0$, то есть $P(0)=0$. "Значение многочлена равно нулю" означает, что для некоторого (неуточненного) значения $x$ выполняется равенство $P(x)=0$, что является определением корня многочлена.