Номер 33.7, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.7. Найдите все значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:

1) $(x + 2)(x - 1)(x - 3)(x - p);$

2) $5(x - 2)(x + 11)(x - 6)(x + p);$

3) $(x^2 - x - 2)(x - 4)(x - 2p);$

4) $(x^2 + x - 2)(x + 1)(p - 2x).$

1) Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня, приравняем его к нулю:

$(x + 2)(x - 1)(x - 3)(x - p) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Найдем корни, соответствующие каждому множителю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$

$x - p = 0 \implies x_4 = p$

Первые три множителя дают три различных корня: $-2, 1, 3$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, четвертый корень $x_4 = p$ должен совпадать с одним из уже найденных корней.

Это происходит в следующих случаях:

1. $p = -2$

2. $p = 1$

3. $p = 3$

При этих значениях $p$ множество корней многочлена будет $\{-2, 1, 3\}$.

Ответ: $p \in \{-2, 1, 3\}$.

2) Приравняем многочлен к нулю: $5(x - 2)(x + 11)(x - 6)(x + p) = 0$.

Постоянный множитель $5$ не влияет на корни уравнения. Найдем корни из остальных множителей:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 11 = 0 \implies x_2 = -11$

$x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

$x + p = 0 \implies x_4 = -p$

Мы уже имеем три различных корня: $2, -11, 6$. Чтобы общее число различных корней было ровно три, корень $x_4 = -p$ должен совпадать с одним из них.

1. $-p = 2 \implies p = -2$

2. $-p = -11 \implies p = 11$

3. $-p = 6 \implies p = -6$

При этих значениях $p$ множество корней многочлена будет $\{-11, 2, 6\}$.

Ответ: $p \in \{-6, -2, 11\}$.

3) Приравняем многочлен к нулю: $(x^2 - x - 2)(x - 4)(x - 2p) = 0$.

Найдем корни каждого множителя.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x - 2)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

2. Из множителя $x - 4 = 0$ получаем корень $x_3 = 4$.

3. Из множителя $x - 2p = 0$ получаем корень $x_4 = 2p$.

Таким образом, у нас есть три различных корня, не зависящих от $p$: $-1, 2, 4$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, корень $x_4 = 2p$ должен совпадать с одним из уже найденных.

1. $2p = -1 \implies p = -\frac{1}{2}$

2. $2p = 2 \implies p = 1$

3. $2p = 4 \implies p = 2$

Ответ: $p \in \{-\frac{1}{2}, 1, 2\}$.

4) Приравняем многочлен к нулю: $(x^2 + x - 2)(x + 1)(p - 2x) = 0$.

Найдем корни каждого множителя.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Разложив на множители $(x + 2)(x - 1) = 0$, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

2. Из множителя $x + 1 = 0$ получаем корень $x_3 = -1$.

3. Из множителя $p - 2x = 0$ получаем $2x = p$, откуда $x_4 = \frac{p}{2}$.

Мы получили три различных корня, не зависящих от $p$: $-2, 1, -1$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, корень $x_4 = \frac{p}{2}$ должен быть равен одному из них.

1. $\frac{p}{2} = -2 \implies p = -4$

2. $\frac{p}{2} = 1 \implies p = 2$

3. $\frac{p}{2} = -1 \implies p = -2$

Ответ: $p \in \{-4, -2, 2\}$.