Номер 33.10, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.10. Найдите все значения параметра $p$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:

1) $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1)$;

2) $(x^2 - 5x + 6)(px^2 + 4x + 1)$;

3) $(x^2 - 5x - 6)(x^2 - x - 2p)$;

4) $(x^2 - x - 2)(px^2 + 5x + 1)$.

1) Чтобы многочлен $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1)$ имел ровно три различных корня, нужно решить уравнение $(x^2 - 2x - 8)(x^2 + 2px + 1) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 2x - 8 = 0$

2) $x^2 + 2px + 1 = 0$

Решим первое уравнение: $D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.Первое уравнение имеет два различных корня. Чтобы всего было три различных корня, второе уравнение $x^2 + 2px + 1 = 0$ должно добавить ровно один новый корень. Это возможно в двух случаях.

Случай A: Второе уравнение имеет ровно один корень, и этот корень не совпадает с корнями первого уравнения.Дискриминант второго уравнения $D_2 = (2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4p^2 - 4$. Уравнение имеет один корень при $D_2 = 0$, то есть $4p^2 - 4 = 0$, откуда $p^2 = 1$, $p = 1$ или $p = -1$.При $p=1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x + 1 = 0$, $(x+1)^2 = 0$, корень $x_3 = -1$. Этот корень не совпадает с $x_1=4$ и $x_2=-2$. Таким образом, у исходного многочлена три корня: $4, -2, -1$. Значение $p=1$ подходит.При $p=-1$ уравнение принимает вид $x^2 - 2x + 1 = 0$, $(x-1)^2 = 0$, корень $x_3 = 1$. Этот корень не совпадает с $x_1=4$ и $x_2=-2$. Таким образом, у исходного многочлена три корня: $4, -2, 1$. Значение $p=-1$ подходит.

Случай Б: Второе уравнение имеет два различных корня ($D_2 > 0$), но один из них совпадает с одним из корней первого уравнения.$D_2 > 0 \implies 4p^2 - 4 > 0 \implies p^2 > 1 \implies p \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.Если корень второго уравнения совпадает с $x_1 = 4$, подставим его во второе уравнение: $4^2 + 2p(4) + 1 = 0 \implies 16 + 8p + 1 = 0 \implies 8p = -17 \implies p = -17/8$. Это значение удовлетворяет условию $|p| > 1$. Второй корень уравнения $x^2 - \frac{17}{4}x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/4$. Множество корней: $\{4, -2, 1/4\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -17/8$ подходит.Если корень второго уравнения совпадает с $x_2 = -2$, подставим его во второе уравнение: $(-2)^2 + 2p(-2) + 1 = 0 \implies 4 - 4p + 1 = 0 \implies 4p = 5 \implies p = 5/4$. Это значение удовлетворяет условию $|p| > 1$. Второй корень уравнения $x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $-1/2$. Множество корней: $\{4, -2, -1/2\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = 5/4$ подходит.

Ответ: $p \in \{-17/8, -1, 1, 5/4\}$.

2) Решаем уравнение $(x^2 - 5x + 6)(px^2 + 4x + 1) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$

2) $px^2 + 4x + 1 = 0$

Первое уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $px^2 + 4x + 1 = 0$.

Случай 1: $p=0$. Уравнение становится линейным: $4x+1=0$, откуда $x_3 = -1/4$. Этот корень не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=3$. Общее число корней 3. Значение $p=0$ подходит.

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Дискриминант $D_2 = 4^2 - 4p(1) = 16 - 4p$.

Подслучай 2А: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $16 - 4p = 0 \implies p=4$. Уравнение $4x^2 + 4x + 1 = 0$ или $(2x+1)^2=0$ имеет корень $x_3 = -1/2$. Он не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=3$. Общее число корней 3. Значение $p=4$ подходит.

Подслучай 2Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p<4$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=2$ является корнем $px^2 + 4x + 1 = 0$, то $p(2^2) + 4(2) + 1 = 0 \implies 4p + 9 = 0 \implies p = -9/4$. Это значение удовлетворяет $p<4$. Второй корень уравнения $-\frac{9}{4}x^2 + 4x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-9/4) / 2 = -2/9$. Множество корней: $\{2, 3, -2/9\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -9/4$ подходит.Если $x=3$ является корнем $px^2 + 4x + 1 = 0$, то $p(3^2) + 4(3) + 1 = 0 \implies 9p + 13 = 0 \implies p = -13/9$. Это значение удовлетворяет $p<4$. Второй корень уравнения $-\frac{13}{9}x^2 + 4x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-13/9) / 3 = -3/13$. Множество корней: $\{2, 3, -3/13\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -13/9$ подходит.

Ответ: $p \in \{-9/4, -13/9, 0, 4\}$.

3) Решаем уравнение $(x^2 - 5x - 6)(x^2 - x - 2p) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - 5x - 6 = 0$

2) $x^2 - x - 2p = 0$

Первое уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$ или $(x-6)(x+1)=0$ имеет корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $x^2 - x - 2p = 0$. Его дискриминант $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2p) = 1 + 8p$.

Случай A: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $1 + 8p = 0 \implies p = -1/8$. Уравнение $x^2 - x + 1/4 = 0$ или $(x-1/2)^2=0$ имеет корень $x_3 = 1/2$. Он не совпадает с $x_1=6$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=-1/8$ подходит.

Случай Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p>-1/8$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=6$ является корнем $x^2 - x - 2p = 0$, то $6^2 - 6 - 2p = 0 \implies 30 - 2p = 0 \implies p = 15$. Это значение удовлетворяет $p>-1/8$. Уравнение $x^2-x-30=0$ имеет корни 6 и -5. Множество корней: $\{6, -1, -5\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=15$ подходит.Если $x=-1$ является корнем $x^2 - x - 2p = 0$, то $(-1)^2 - (-1) - 2p = 0 \implies 2 - 2p = 0 \implies p = 1$. Это значение удовлетворяет $p>-1/8$. Уравнение $x^2-x-2=0$ имеет корни -1 и 2. Множество корней: $\{6, -1, 2\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=1$ подходит.

Ответ: $p \in \{-1/8, 1, 15\}$.

4) Решаем уравнение $(x^2 - x - 2)(px^2 + 5x + 1) = 0$. Оно равносильно совокупности:

1) $x^2 - x - 2 = 0$

2) $px^2 + 5x + 1 = 0$

Первое уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ или $(x-2)(x+1)=0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Чтобы общее число корней было равно трем, второе уравнение должно добавить один новый корень.

Рассмотрим уравнение $px^2 + 5x + 1 = 0$.

Случай 1: $p=0$. Уравнение становится линейным: $5x+1=0$, откуда $x_3 = -1/5$. Этот корень не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=0$ подходит.

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Дискриминант $D_2 = 5^2 - 4p(1) = 25 - 4p$.

Подслучай 2А: Уравнение имеет один корень ($D_2=0$). $25 - 4p = 0 \implies p=25/4$. Уравнение $\frac{25}{4}x^2 + 5x + 1 = 0$ или $(5x/2+1)^2=0$ имеет корень $x_3 = -2/5$. Он не совпадает с $x_1=2$ и $x_2=-1$. Общее число корней 3. Значение $p=25/4$ подходит.

Подслучай 2Б: Уравнение имеет два корня ($D_2>0$, т.е. $p<25/4$), один из которых совпадает с корнем первого уравнения.Если $x=2$ является корнем $px^2 + 5x + 1 = 0$, то $p(2^2) + 5(2) + 1 = 0 \implies 4p + 11 = 0 \implies p = -11/4$. Это значение удовлетворяет $p<25/4$. Второй корень уравнения $-\frac{11}{4}x^2 + 5x + 1 = 0$ по теореме Виета равен $1/(-11/4) / 2 = -2/11$. Множество корней: $\{2, -1, -2/11\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p = -11/4$ подходит.Если $x=-1$ является корнем $px^2 + 5x + 1 = 0$, то $p(-1)^2 + 5(-1) + 1 = 0 \implies p - 4 = 0 \implies p = 4$. Это значение удовлетворяет $p<25/4$. Уравнение $4x^2+5x+1=0$ имеет корни -1 и -1/4. Множество корней: $\{2, -1, -1/4\}$. Всего 3 различных корня. Значение $p=4$ подходит.

Ответ: $p \in \{-11/4, 0, 4, 25/4\}$.