Номер 33.4, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.4. При каких значениях a и p равны многочлены P(x) и K(x):

1) $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5$, $K(x) = ax^3 + (a+p)x^2 + 2x - 5$;

2) $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 4$, $K(x) = 2x^3 - 4x^2 + (2a+p)x + a - 2p$;

3) $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + (a-p)x - 7$, $K(x) = 3x^3 + (a+p)x^2 + 3x - 7$;

4) $P(x) = -x^3 + 10x^2 + 2x + a - 3p$, $K(x) = x^3 + (a+p)x^2 + 2x - 5$?

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Чтобы найти значения $a$ и $p$, приравняем соответствующие коэффициенты многочленов $P(x)$ и $K(x)$ в каждом пункте.

1) Даны многочлены $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5$ и $K(x) = ax^3 + (a + p)x^2 + 2x - 5$.

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

Для $x^3$: $1 = a$

Для $x^2$: $-3 = a + p$

Коэффициенты при $x$ и свободные члены уже равны ($2=2$ и $-5=-5$), поэтому они не дают уравнений.

Получаем систему:

$a = 1$

$-3 = a + p$

Подставляем значение $a = 1$ во второе уравнение:

$-3 = 1 + p$

$p = -3 - 1 = -4$

Ответ: $a=1, p=-4$.

2) Даны многочлены $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 4$ и $K(x) = 2x^3 - 4x^2 + (2a + p)x + a - 2p$.

Коэффициенты при $x^3$ и $x^2$ совпадают. Приравниваем остальные коэффициенты:

Для $x$: $3 = 2a + p$

Для свободного члена: $4 = a - 2p$

Решаем полученную систему уравнений:

$2a + p = 3$

$a - 2p = 4$

Из первого уравнения выразим $p$: $p = 3 - 2a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a - 2(3 - 2a) = 4$

$a - 6 + 4a = 4$

$5a = 10$

$a = 2$

Теперь находим $p$:

$p = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

Ответ: $a=2, p=-1$.

3) Даны многочлены $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + (a - p)x - 7$ и $K(x) = 3x^3 + (a + p)x^2 + 3x - 7$.

Коэффициенты при $x^3$ и свободные члены совпадают. Приравниваем остальные коэффициенты:

Для $x^2$: $-5 = a + p$

Для $x$: $a - p = 3$

Решаем систему:

$a + p = -5$

$a - p = 3$

Сложим эти два уравнения: $(a + p) + (a - p) = -5 + 3$, что дает $2a = -2$, откуда $a = -1$.

Подставим $a = -1$ в первое уравнение:

$-1 + p = -5$

$p = -5 + 1 = -4$

Ответ: $a=-1, p=-4$.

4) Даны многочлены $P(x) = -x^3 + 10x^2 + 2x + a - 3p$ и $K(x) = x^3 + (a + p)x^2 + 2x - 5$.

Чтобы многочлены были равны, их коэффициенты при всех степенях $x$ должны быть равны.

Сравним коэффициенты при $x^3$:

В многочлене $P(x)$ коэффициент при $x^3$ равен $-1$.

В многочлене $K(x)$ коэффициент при $x^3$ равен $1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, коэффициенты при старшей степени не равны. Это означает, что данные многочлены не могут быть равны ни при каких значениях параметров $a$ и $p$.

Ответ: таких значений $a$ и $p$ не существует.