Объясните, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как применили теорему для многочлена с рациональными коэффициентами:

$P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6};$

$P(x) = \frac{1}{6}(12x^3 + 4x^2 - 3x + 5);$

$P(x) = \frac{1}{6}Q(x)?$ Почему корни многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны?

Как применили теорему для многочлена с рациональными коэффициентами:

Для того чтобы найти корни многочлена с рациональными (дробными) коэффициентами, его удобно преобразовать в многочлен с целыми коэффициентами. Это делается для упрощения применения, например, теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Рассмотрим исходный многочлен: $P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}$. Его коэффициенты: $2$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$.

1. Находим общий знаменатель. Сначала все коэффициенты представляются в виде дробей: $\frac{2}{1}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$. Знаменатели этих дробей: 1, 3, 2, 6.

2. Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. $НОК(1, 3, 2, 6) = 6$.

3. Выносим за скобки дробь, обратную НОК. Мы выносим за скобки множитель $\frac{1}{6}$. Чтобы выражение осталось верным, каждый член исходного многочлена нужно умножить на 6.

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 2x^3 + 6 \cdot \frac{2}{3}x^2 - 6 \cdot \frac{1}{2}x + 6 \cdot \frac{1}{6})$

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + \frac{12}{3}x^2 - \frac{6}{2}x + \frac{6}{6})$

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + 4x^2 - 3x + 1)$

В условии задачи в многочлене $Q(x)$ свободный член равен 5: $Q(x) = 12x^3 + 4x^2 - 3x + 5$. Это означает, что в исходном многочлене $P(x)$ была опечатка, и он должен был выглядеть так: $P(x) = 2x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$. В этом случае преобразование было бы верным:

$P(x) = \frac{1}{6} \cdot (12x^3 + 4x^2 - 3x + 5) = \frac{1}{6}Q(x)$

Таким образом, многочлен $P(x)$ с рациональными коэффициентами был заменен на произведение постоянного множителя $\frac{1}{6}$ и многочлена $Q(x)$ с целыми коэффициентами.

Ответ: Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, за скобки вынесли множитель $\frac{1}{НОК}$, где НОК — это наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов. В результате получили многочлен с целыми коэффициентами $Q(x)$, который проще анализировать.

Почему корни многочленов P(x) и Q(x) равны?

Корнем многочлена называется такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена равно нулю.

Чтобы найти корни многочлена $P(x)$, необходимо решить уравнение $P(x) = 0$.

Мы установили, что многочлены связаны соотношением $P(x) = \frac{1}{6}Q(x)$.

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{1}{6}Q(x) = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей: константы $\frac{1}{6}$ и многочлена $Q(x)$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель, $\frac{1}{6}$, является константой и никогда не равен нулю.

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$Q(x) = 0$

Таким образом, уравнение $P(x) = 0$ равносильно уравнению $Q(x) = 0$. Это означает, что множество решений для первого уравнения (корни $P(x)$) в точности совпадает с множеством решений для второго уравнения (корни $Q(x)$).

Ответ: Корни многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ равны, потому что эти многочлены связаны соотношением $P(x) = c \cdot Q(x)$, где $c$ — ненулевая константа ($c = \frac{1}{6}$). Поэтому уравнение $P(x)=0$ эквивалентно уравнению $c \cdot Q(x) = 0$, что, в свою очередь, эквивалентно $Q(x)=0$.