Номер 32.15, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.15. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $cos^2 (2x - 4) < 0$;

2) $sin 3 \cdot cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$.

1) cos2 · (2x - 4) < 0;

Данное неравенство содержит постоянный коэффициент $cos2$. Чтобы решить неравенство, сначала определим знак этого коэффициента. Аргумент косинуса, равный 2, задан в радианах.

Мы знаем, что $ \pi \approx 3.14159 $. Тогда $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Так как $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти имеет отрицательное значение, следовательно, $cos2 < 0$.

Неравенство имеет вид $a \cdot b < 0$, где $a = cos2 < 0$ и $b = 2x - 4$. Чтобы произведение отрицательного числа $a$ и числа $b$ было отрицательным, число $b$ должно быть положительным. Таким образом, мы должны решить неравенство: $2x - 4 > 0$

Решаем это линейное неравенство: $2x > 4$ $x > \frac{4}{2}$ $x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) sin 3 · cos 5 · (x² - 4) < 0.

Это неравенство вида $k \cdot (x^2 - 4) < 0$, где $k = sin3 \cdot cos5$ — постоянный коэффициент. Определим знак этого коэффициента, найдя знаки каждого из множителей. Аргументы тригонометрических функций заданы в радианах.

Определим знак $sin3$: Поскольку $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $). Синус во второй четверти положителен, поэтому $sin3 > 0$.

Определим знак $cos5$: Поскольку $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, то угол в 5 радиан находится в четвертой координатной четверти ($ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $). Косинус в четвертой четверти положителен, поэтому $cos5 > 0$.

Коэффициент $k = sin3 \cdot cos5$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, он положителен: $k > 0$.

Поскольку мы делим обе части исходного неравенства на положительное число $k$, знак неравенства не меняется: $x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) < 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.