Номер 32.17, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.17. Постройте график функции f(x):

1) $f(x) = |\sin x| + \sin x;$

2) $f(x) = |\cos x| + \cos x;$

3) $f(x) = 2|\sin x| - \sin x;$

4) $f(x) = |\cos x| - 2\cos x.$

1) f(x) = |sin x| + sin x

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\sin x + \sin x = 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где график $y = \sin x$ лежит выше или на оси абсцисс (верхние "полуволны"), мы строим график $y = 2\sin x$. Это означает, что эти "полуволны" растягиваются в 2 раза по вертикали, и их максимальное значение становится равным 2. На интервалах, где график $y = \sin x$ лежит ниже оси абсцисс (нижние "полуволны"), мы строим график $y=0$, то есть отрезок на оси абсцисс.

Ответ: График функции представляет собой последовательность "полуволн" синусоиды, растянутых в 2 раза по вертикали, с вершинами в точках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$, которые чередуются с отрезками на оси Ох. На промежутке $[0, \pi]$ это график $y=2\sin x$, на промежутке $(\pi, 2\pi)$ это график $y=0$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2) f(x) = |cos x| + cos x

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\cos x + \cos x = 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} 2\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где график $y = \cos x$ лежит выше или на оси абсцисс, мы строим график $y = 2\cos x$. Это означает, что эти части косинусоиды растягиваются в 2 раза по вертикали, и их максимальное значение становится равным 2. На интервалах, где график $y = \cos x$ лежит ниже оси абсцисс, мы строим график $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой последовательность "полуволн" косинусоиды, растянутых в 2 раза по вертикали, с вершинами в точках $(2\pi k, 2)$, которые чередуются с отрезками на оси Ох. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ это график $y=2\cos x$, на промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ это график $y=0$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

3) f(x) = 2|sin x| - sin x

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = 2\sin x - \sin x = \sin x$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:

$f(x) = 2(-\sin x) - \sin x = -3\sin x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ -3\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где $\sin x \ge 0$ (верхние "полуволны" синусоиды), график $f(x)$ совпадает с графиком $y = \sin x$. На интервалах, где $\sin x < 0$ (нижние "полуволны"), график $f(x)$ совпадает с графиком $y = -3\sin x$. Это означает, что нижние "полуволны" синусоиды отражаются относительно оси Ох и растягиваются в 3 раза по вертикали.

Ответ: График функции на промежутке $[0, \pi]$ совпадает с графиком $y = \sin x$. На промежутке $(\pi, 2\pi)$ график представляет собой "полуволну", симметричную верхней полуволне синусоиды, но растянутую в 3 раза по вертикали, с вершиной в точке $(\frac{3\pi}{2}, 3)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

4) f(x) = |cos x| - 2cos x

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = \cos x - 2\cos x = -\cos x$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:

$f(x) = -\cos x - 2\cos x = -3\cos x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ -3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Для построения графика на интервалах, где $\cos x \ge 0$, мы строим график $y = -\cos x$. Это означает, что части косинусоиды, лежащие выше оси Ох, отражаются симметрично относительно этой оси. На интервалах, где $\cos x < 0$, мы строим график $y = -3\cos x$. Это означает, что части косинусоиды, лежащие ниже оси Ох, отражаются относительно этой оси и растягиваются в 3 раза по вертикали.

Ответ: График функции на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ совпадает с графиком $y = -\cos x$ (перевернутая "полуволна" с минимумом в точке $(0, -1)$). На промежутке $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ график представляет собой "полуволну" с вершиной в точке $(\pi, 3)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.