Номер 33.5, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Условие, что многочлен $P(x)$ имеет корень, равный 2, означает, что при подстановке значения $x=2$ в многочлен, результат должен быть равен нулю, то есть $P(2)=0$. Для каждого из случаев мы подставим $x=2$ и решим получившееся уравнение относительно параметра $a$.

1) $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + a^2 - 3a$

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена: $P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 2(2) + a^2 - 3a = 8 - 2 \cdot 4 - 4 + a^2 - 3a = 8 - 8 - 4 + a^2 - 3a = a^2 - 3a - 4$.

Теперь приравняем полученное выражение к нулю и решим квадратное уравнение относительно $a$: $a^2 - 3a - 4 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни уравнения: $a_1 = 4$ и $a_2 = -1$. Или можно найти корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. $a = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$. $a_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$, $a_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 4$.

2) $P(x) = -x^3 + x^2 - 2x + a^2 - a$

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена: $P(2) = -(2)^3 + (2)^2 - 2(2) + a^2 - a = -8 + 4 - 4 + a^2 - a = a^2 - a - 8$.

Приравняем к нулю и решим уравнение: $a^2 - a - 8 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$. $a = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ или $a = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$.

3) $P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2a^2 - 3a - 7$

Подставим $x=2$: $P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) + 2a^2 - 3a - 7 = 8 - 3 \cdot 4 + 6 + 2a^2 - 3a - 7 = 8 - 12 + 6 + 2a^2 - 3a - 7 = 2a^2 - 3a - 5$.

Приравняем к нулю: $2a^2 - 3a - 5 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $a = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. $a_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $a_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = \frac{5}{2}$.

4) $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + a^2 - 5a$

Подставим $x=2$: $P(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) + a^2 - 5a = 8 + 2 \cdot 4 - 10 + a^2 - 5a = 8 + 8 - 10 + a^2 - 5a = a^2 - 5a + 6$.

Приравняем к нулю: $a^2 - 5a + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$. Или через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $a = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. $a_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $a_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Ответ: $a = 2$ или $a = 3$.