Номер 33.9, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.9.1) Остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - 5x + 6$ равен $3x - 2$. Найдите значение выражения $P(2) - 3P(3)$;

2) остаток от деления многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ равен $4x - 3$. Найдите значение выражения $P(3) - 2P(-2)$.

1) По теореме о делении многочленов с остатком, многочлен $P(x)$ можно представить в виде: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $D(x)$ - делитель, $Q(x)$ - частное, а $R(x)$ - остаток. В данном случае, делителем является трехчлен $D(x) = x^2 - 5x + 6$, а остатком - $R(x) = 3x - 2$. Таким образом, мы можем записать:

$P(x) = (x^2 - 5x + 6) \cdot Q(x) + (3x - 2)$.

Согласно следствию из теоремы Безу (теореме об остатке), значение многочлена $P(x)$ в точке $x=a$, которая является корнем делителя $D(x)$ (т.е. $D(a)=0$), равно значению остатка $R(x)$ в этой же точке ($P(a) = R(a)$).

Найдем корни делителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь мы можем найти значения $P(2)$ и $P(3)$.

Для $x=2$:

$P(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 6) \cdot Q(2) + (3 \cdot 2 - 2) = (4 - 10 + 6) \cdot Q(2) + (6-2) = 0 \cdot Q(2) + 4 = 4$.

Для $x=3$:

$P(3) = (3^2 - 5 \cdot 3 + 6) \cdot Q(3) + (3 \cdot 3 - 2) = (9 - 15 + 6) \cdot Q(3) + (9-2) = 0 \cdot Q(3) + 7 = 7$.

Осталось вычислить значение требуемого выражения:

$P(2) - 3P(3) = 4 - 3 \cdot 7 = 4 - 21 = -17$.

Ответ: $-17$.

2) Аналогично первому пункту, запишем деление многочлена $P(x)$ на трехчлен $x^2 - x - 6$ с остатком $4x - 3$:

$P(x) = (x^2 - x - 6) \cdot Q(x) + (4x - 3)$.

Найдем корни делителя $D(x) = x^2 - x - 6$, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения $P(3)$ и $P(-2)$, подставив корни делителя в выражение для $P(x)$. Значение $P(x)$ в этих точках будет равно значению остатка $R(x)$.

Для $x=3$:

$P(3) = (3^2 - 3 - 6) \cdot Q(3) + (4 \cdot 3 - 3) = (9 - 3 - 6) \cdot Q(3) + (12-3) = 0 \cdot Q(3) + 9 = 9$.

Для $x=-2$:

$P(-2) = ((-2)^2 - (-2) - 6) \cdot Q(-2) + (4 \cdot (-2) - 3) = (4 + 2 - 6) \cdot Q(-2) + (-8-3) = 0 \cdot Q(-2) - 11 = -11$.

Вычислим значение выражения $P(3) - 2P(-2)$:

$P(3) - 2P(-2) = 9 - 2 \cdot (-11) = 9 + 22 = 31$.

Ответ: $31$.