Номер 33.13, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.13. Постройте график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) ось симметрии графика функции;

4) значения параметра $p$, при которых уравнение $y = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня.

Для решения задачи построим график функции $y = |x^2 - 2x - 8|$. Сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 2x - 8$. Это парабола с ветвями вверх.

Найдем ее ключевые точки. Вершина параболы имеет координаты $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$ и $y_v = 1^2 - 2(1) - 8 = -9$. Точка вершины: $(1, -9)$. Точки пересечения с осью Ox (нули функции) находятся из уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

График функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 2x - 8$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси (т.е. на интервале $x \in (-2, 4)$). Часть графика, где $y \ge 0$, остается без изменений. Таким образом, вершина параболы $(1, -9)$ переходит в точку локального максимума $(1, 9)$.

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y = |0^2 - 2(0) - 8| = |-8| = 8$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 8)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $y=0$: $|x^2 - 2x - 8| = 0$, что равносильно $x^2 - 2x - 8 = 0$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Oy: $(0, 8)$; с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

2) промежутки монотонности функции

На основе построенного графика определяем промежутки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции находятся в точках $x=-2$ (локальный минимум), $x=1$ (локальный максимум) и $x=4$ (локальный минимум).

Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$.

Функция возрастает на промежутках $[-2, 1]$ и $[4, \infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[1, 4]$, возрастает на промежутках $[-2, 1]$ и $[4, \infty)$.

3) ось симметрии графика функции

Исходная парабола $f(x) = x^2 - 2x - 8$ симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину, то есть прямой $x=1$. Так как преобразование модуля (отражение отрицательной части) является симметричным, ось симметрии $x=1$ сохраняется и для графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$.

Ответ: ось симметрии графика функции — прямая $x=1$.

4) значения параметра p, при которых уравнение $y = |x^2 - 2x - 8|$ имеет четыре корня

Формулировка вопроса, вероятно, содержит опечатку, и имеется в виду уравнение $|x^2 - 2x - 8| = p$. Число корней этого уравнения соответствует числу точек пересечения графика функции $y = |x^2 - 2x - 8|$ с горизонтальной прямой $y=p$.

Анализируя график, можно сделать следующие выводы о количестве корней:

• При $p < 0$: нет корней.
• При $p = 0$: два корня (в точках $x=-2$ и $x=4$).
• При $0 < p < 9$: четыре корня.
• При $p = 9$: три корня (один в точке $x=1$ и еще два).
• При $p > 9$: два корня.

Следовательно, уравнение имеет четыре корня, когда значение параметра $p$ находится строго между значением в локальных минимумах ($y=0$) и значением в локальном максимуме ($y=9$).

Ответ: $p \in (0, 9)$.