Номер 34.1, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.1. Найдите действительные корни уравнения:

1) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$;

2) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$;

3) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$;

4) $x^4 - 13x^2 + 42 = 0$.

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку мы ищем действительные корни для $x$, значение $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$y^2 - 8y - 9 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Корни для $y$ вычисляются по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$. Мы должны учесть условие $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 9$ удовлетворяет этому условию. Выполним обратную замену: $x^2 = 9$. Отсюда получаем два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются только $3$ и $-3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $y^2 - 13y + 36 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят для обратной замены.

1. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $y = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm \sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

3) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$.

Выполним замену $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 9y + 20 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Подбираем корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 5$.

Оба корня положительны и подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. При $y = 4$, имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

2. При $y = 5$, имеем $x^2 = 5$, откуда $x = \pm \sqrt{5}$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.

4) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 13x^2 + 42 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 13y + 42 = 0$.

Решим его. Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13 + 1}{2} = 7$.

$y_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6$.

Оба корня ($y_1 = 7$ и $y_2 = 6$) положительны, поэтому оба подходят.

Произведем обратную замену:

1. Если $y = 7$, то $x^2 = 7$, откуда $x = \pm \sqrt{7}$.

2. Если $y = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x = \pm \sqrt{6}$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{7}; -\sqrt{6}; \sqrt{6}; \sqrt{7}$.