Номер 34.8, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.8. Решите уравнение:

1) $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0;$

2) $x(x - 1)(x + 1)(x + 2) - 24 = 0;$

3) $(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) - 4 = 0;$

4) $(x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) - 120 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0$.

Это уравнение четвертой степени, которое решается методом группировки и введения новой переменной. Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Замечаем, что $0+8 = 3+5 = 8$.

Перегруппируем и перемножим скобки: $[x(x + 8)][(x + 3)(x + 5)] + 56 = 0$.

$(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) + 56 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t + 15) + 56 = 0$

$t^2 + 15t + 56 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = -15$ и $t_1 \cdot t_2 = 56$. Подбором находим $t_1 = -7$ и $t_2 = -8$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -7$.

$x^2 + 8x = -7 \implies x^2 + 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$. Находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $t = -8$.

$x^2 + 8x = -8 \implies x^2 + 8x + 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$.

Получаем еще два корня: $x_3 = -4 - 2\sqrt{2}$, $x_4 = -4 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $-7; -4 - 2\sqrt{2}; -1; -4 + 2\sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $x(x - 1)(x + 1)(x + 2) - 24 = 0$.

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Замечаем, что $0+1 = -1+2 = 1$.

Перегруппируем: $[x(x + 1)][(x - 1)(x + 2)] - 24 = 0$.

$(x^2 + x)(x^2 + x - 2) - 24 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t - 2) - 24 = 0$

$t^2 - 2t - 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -24$. Находим корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 6$.

$x^2 + x = 6 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $t = -4$.

$x^2 + x = -4 \implies x^2 + x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-3; 2$.

3) Исходное уравнение: $(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) - 4 = 0$.

Сгруппируем множители. Замечаем, что $4+8 = 5+7 = 12$.

Перегруппируем: $[(x + 4)(x + 8)][(x + 5)(x + 7)] - 4 = 0$.

$(x^2 + 12x + 32)(x^2 + 12x + 35) - 4 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 12x + 32$. Тогда $x^2 + 12x + 35 = t + 3$. Уравнение примет вид:

$t(t + 3) - 4 = 0$

$t^2 + 3t - 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = -4$. Находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.

$x^2 + 12x + 32 = 1 \implies x^2 + 12x + 31 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 144 - 124 = 20$.

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -6 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два корня: $x_1 = -6 - \sqrt{5}$, $x_2 = -6 + \sqrt{5}$.

Случай 2: $t = -4$.

$x^2 + 12x + 32 = -4 \implies x^2 + 12x + 36 = 0$.

Это полный квадрат: $(x + 6)^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень (кратности 2): $x_3 = -6$.

Ответ: $-6; -6 - \sqrt{5}; -6 + \sqrt{5}$.

4) Исходное уравнение: $(x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) - 120 = 0$.

Сгруппируем множители. Замечаем, что $1+4 = 2+3 = 5$.

Перегруппируем: $[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 120 = 0$.

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 120 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 5x$. Уравнение примет вид:

$(t + 4)(t + 6) - 120 = 0$

$t^2 + 10t + 24 - 120 = 0$

$t^2 + 10t - 96 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -10$ и $t_1 \cdot t_2 = -96$. Находим корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -16$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 6$.

$x^2 + 5x = 6 \implies x^2 + 5x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Случай 2: $t = -16$.

$x^2 + 5x = -16 \implies x^2 + 5x + 16 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-6; 1$.