Номер 34.6, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.6. Решите уравнение способом введения новой переменной:

1) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 = 0;$

2) $(x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) - 24 = 0;$

3) $(x^2 - 5x - 1)(x^2 - 5x + 2) - 28 = 0;$

4) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = 0.$

1) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x^2 + x)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 + x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-12$.

$t_1 + t_2 = -4$

$t_1 \cdot t_2 = -12$

Подбором находим корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 + x = -6$

$x^2 + x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t_2 = 2$.

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$.

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $-2; 1$.

2) $(x^2 - 3x)(x - 1)(x - 2) - 24 = 0$

Сначала преобразуем уравнение. Перемножим скобки $(x-1)$ и $(x-2)$, а $(x^2-3x)$ представим как $x(x-3)$. Удобнее сгруппировать множители так, чтобы после перемножения получить одинаковые выражения.

Перегруппируем множители: $[x(x-3)][(x-1)(x-2)] - 24 = 0$.

Раскроем скобки в каждой группе:

$x(x-3) = x^2 - 3x$

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) - 24 = 0$

Теперь видно, что можно ввести замену. Пусть $t = x^2 - 3x$.

$t(t + 2) - 24 = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -2$, $t_1 \cdot t_2 = -24$. Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 - 3x = -6 \Rightarrow x^2 - 3x + 6 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t_2 = 4$.

$x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 4$.

3) $(x^2 - 5x - 1)(x^2 - 5x + 2) - 28 = 0$

В выражении повторяется часть $x^2 - 5x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 - 5x$. Уравнение принимает вид:

$(t - 1)(t + 2) - 28 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 + 2t - t - 2 - 28 = 0$

$t^2 + t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -30$. Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -6$.

$x^2 - 5x = -6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Случай 2: $t_2 = 5$.

$x^2 - 5x = 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 5 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$.

Корни: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_3 = \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; 3; \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

4) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = 0$

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 + x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать так:

$(t + 1)(t + 2) - 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 2t + t + 2 - 6 = 0$

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$, $t_1 \cdot t_2 = -4$. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = -4$.

$x^2 + x = -4 \Rightarrow x^2 + x + 4 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t_2 = 1$.

$x^2 + x = 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0$.

Решим с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.