Номер 34.11, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.11. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $x^4 - x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = 0;$

2) $x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0;$

3) $x^4 - x^3 - 8x^2 + 2x + 4 = 0;$

4) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0.$

1) $x^4 - x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как свободный член $4 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - x - 10 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 10 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 + 4) - y - 10 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$.

$x - \frac{2}{x} = 3$

Умножим на $x$: $x^2 - 2 = 3x$, что дает $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Случай 2: $y = -2$.

$x - \frac{2}{x} = -2$

Умножим на $x$: $x^2 - 2 = -2x$, что дает $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}; -1 \pm \sqrt{3}$.

2) $x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0$

Так как $x=0$ не является корнем, разделим уравнение на $x^2$:

$x^2 - 5x + 10 - \frac{10}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) - 5(x + \frac{2}{x}) + 10 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 4) - 5y + 10 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$.

$x + \frac{2}{x} = 2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

3) $x^4 - x^3 - 8x^2 + 2x + 4 = 0$

Поскольку $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$x^2 - x - 8 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 8 = 0$.

Пусть $y = x - \frac{2}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставляем в уравнение:

$(y^2 + 4) - y - 8 = 0$

$y^2 - y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

$x - \frac{2}{x} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

$2x^2 - (1 + \sqrt{17})x - 4 = 0$.

Дискриминант $D_1 = (-(1 + \sqrt{17}))^2 - 4(2)(-4) = 1 + 2\sqrt{17} + 17 + 32 = 50 + 2\sqrt{17}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 + \sqrt{17} \pm \sqrt{50 + 2\sqrt{17}}}{4}$.

Случай 2: $y = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

$x - \frac{2}{x} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

$2x^2 - (1 - \sqrt{17})x - 4 = 0$.

Дискриминант $D_2 = (-(1 - \sqrt{17}))^2 - 4(2)(-4) = 1 - 2\sqrt{17} + 17 + 32 = 50 - 2\sqrt{17}$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{1 - \sqrt{17} \pm \sqrt{50 - 2\sqrt{17}}}{4}$.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{17} \pm \sqrt{50 + 2\sqrt{17}}}{4}; \frac{1 - \sqrt{17} \pm \sqrt{50 - 2\sqrt{17}}}{4}$.

4) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Так как $x \neq 0$, делим уравнение на $x^2$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{2}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 4) + 2y - 11 = 0$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Случай 2: $y = -5$.

$x + \frac{2}{x} = -5$

$x^2 + 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17$.

Корни $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.