Номер 34.12, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.12. Решите уравнение:

1) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0;$

2) $(3x - 2)^2 + 3(5x - 7)(3x - 2) + 2(5x - 7)^2 = 0;$

3) $(x + 5)^4 - 13x^2 (x + 5)^2 + 36x^4 = 0;$

4) $4(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 (x - 2)^2 + (x - 2)^4 = 0.$

1) $(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(7x - 5) + 2(7x - 5)^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $(2x+3)$ и $(7x-5)$.

Введем замену переменных. Пусть $a = 2x + 3$ и $b = 7x - 5$.

Тогда уравнение примет вид: $a^2 - 3ab + 2b^2 = 0$.

Заметим, что $b = 7x - 5 \neq 0$, так как если $7x-5=0$, то $x=5/7$, и подстановка в исходное уравнение дает $(2 \cdot 5/7 + 3)^2 = (31/7)^2 \neq 0$.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b^2$:

$(\frac{a}{b})^2 - 3(\frac{a}{b}) + 2 = 0$.

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t_1 = 1$.

$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$.

$2x + 3 = 7x - 5$.

$5x = 8$.

$x_1 = \frac{8}{5}$.

Случай 2: $t_2 = 2$.

$\frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b$.

$2x + 3 = 2(7x - 5)$.

$2x + 3 = 14x - 10$.

$12x = 13$.

$x_2 = \frac{13}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{5}; \frac{13}{12}$.

2) $(3x - 2)^2 + 3(5x - 7)(3x - 2) + 2(5x - 7)^2 = 0$

Это уравнение также является однородным. Пусть $a = 3x - 2$ и $b = 5x - 7$.

Уравнение примет вид: $a^2 + 3ab + 2b^2 = 0$.

Проверим, может ли $b$ быть равным нулю. Если $b = 5x - 7 = 0$, то $x = 7/5$. При этом $a = 3(7/5) - 2 = 21/5 - 10/5 = 11/5 \neq 0$. Исходное уравнение превращается в $(11/5)^2 = 0$, что неверно. Значит $b \neq 0$.

Разделим уравнение на $b^2$:

$(\frac{a}{b})^2 + 3(\frac{a}{b}) + 2 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения по теореме Виета: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t_1 = -1$.

$\frac{a}{b} = -1 \implies a = -b$.

$3x - 2 = -(5x - 7)$.

$3x - 2 = -5x + 7$.

$8x = 9$.

$x_1 = \frac{9}{8}$.

Случай 2: $t_2 = -2$.

$\frac{a}{b} = -2 \implies a = -2b$.

$3x - 2 = -2(5x - 7)$.

$3x - 2 = -10x + 14$.

$13x = 16$.

$x_2 = \frac{16}{13}$.

Ответ: $\frac{9}{8}; \frac{16}{13}$.

3) $(x + 5)^4 - 13x^2(x + 5)^2 + 36x^4 = 0$

Это уравнение является биквадратным и однородным относительно выражений $(x+5)$ и $x$. Запишем его в виде:

$((x + 5)^2)^2 - 13x^2(x + 5)^2 + 36(x^2)^2 = 0$.

Пусть $a = (x + 5)^2$ и $b = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$a^2 - 13ab + 36b^2 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при $x=0$ левая часть равна $(0+5)^4 = 625 \neq 0$. Следовательно, $b = x^2 \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $b^2$.

$(\frac{a}{b})^2 - 13(\frac{a}{b}) + 36 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $t_1 = 4$.

$\frac{(x+5)^2}{x^2} = 4 \implies (x+5)^2 = 4x^2$.

$x^2 + 10x + 25 = 4x^2 \implies 3x^2 - 10x - 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{10 + 20}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{10 - 20}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Случай 2: $t_2 = 9$.

$\frac{(x+5)^2}{x^2} = 9 \implies (x+5)^2 = 9x^2$.

$x^2 + 10x + 25 = 9x^2 \implies 8x^2 - 10x - 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-25) = 100 + 800 = 900 = 30^2$.

$x_3 = \frac{10 + 30}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$.

$x_4 = \frac{10 - 30}{16} = -\frac{20}{16} = -\frac{5}{4}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5$.

4) $4(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2(x - 2)^2 + (x - 2)^4 = 0$

Это однородное уравнение. Пусть $a = (x - 1)^2$ и $b = (x - 2)^2$.

Уравнение принимает вид: $4a^2 - 5ab + b^2 = 0$.

Заметим, что $x=2$ не является корнем, так как при $x=2$ левая часть равна $4(2-1)^4 = 4 \neq 0$. Значит $b = (x-2)^2 \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $b^2$.

$4(\frac{a}{b})^2 - 5(\frac{a}{b}) + 1 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 5t + 1 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Вернемся к переменной $x$:

Случай 1: $t_1 = 1/4$.

$\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2} = \frac{1}{4} \implies 4(x-1)^2 = (x-2)^2$.

$4(x^2 - 2x + 1) = x^2 - 4x + 4$.

$4x^2 - 8x + 4 = x^2 - 4x + 4$.

$3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $3x - 4 = 0 \implies x_2 = \frac{4}{3}$.

Случай 2: $t_2 = 1$.

$\frac{(x-1)^2}{(x-2)^2} = 1 \implies (x-1)^2 = (x-2)^2$.

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$.

$-2x + 1 = -4x + 4$.

$2x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $0; \frac{4}{3}; \frac{3}{2}$.