Номер 34.14, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.14. Используя теорему, обратную теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

1) -5 и -2;

2) -7 и 2;

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

4) -5,4 и 8.

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Иными словами, зная корни $x_1$ и $x_2$, можно составить квадратное уравнение по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) -5 и -2;

Пусть даны корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -5 + (-2) = -7$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-7)x + 10 = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Ответ: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

2) -7 и 2;

Пусть даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-5)x + (-14) = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Ответ: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

Пусть даны корни $x_1 = 2\frac{2}{7}$ и $x_2 = 3$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $x_1 = 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{16}{7} + 3 = \frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{37}{7}$.

Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{7} \cdot 3 = \frac{48}{7}$.

Подставим найденные значения в формулу, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 7:

$7 \cdot (x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7}) = 7 \cdot 0$

$7x^2 - 37x + 48 = 0$

Ответ: $7x^2 - 37x + 48 = 0$.

4) -5,4 и 8.

Пусть даны корни $x_1 = -5,4$ и $x_2 = 8$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -5,4 + 8 = 2,6$.

Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 = -5,4 \cdot 8 = -43,2$.

Подставим найденные значения в формулу, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - 2,6x - 43,2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (x^2 - 2,6x - 43,2) = 10 \cdot 0$

$10x^2 - 26x - 432 = 0$

Все коэффициенты полученного уравнения являются четными числами, поэтому можно упростить уравнение, разделив его на 2:

$5x^2 - 13x - 216 = 0$

Ответ: $5x^2 - 13x - 216 = 0$.