Номер 35.4, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.4. 1) Один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + p$ равен 2.

Найдите этот многочлен и все его корни.

2) Один из корней многочлена $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + p$ равен -1.

Найдите этот многочлен и все его корни.

1) По условию, один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + p$ равен 2. Это означает, что при подстановке $x=2$ в многочлен, его значение обращается в ноль, то есть $P(2)=0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x=2$ в выражение для многочлена:

$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 2 + p = 0$

$8 - 3 \cdot 4 - 2 + p = 0$

$8 - 12 - 2 + p = 0$

$-6 + p = 0$

$p = 6$

Следовательно, искомый многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 6$.

Теперь найдем все его корни. Поскольку мы знаем, что $x_1 = 2$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)$ без остатка. Выполним деление многочленов (например, по схеме Горнера или "в столбик"):

$(x^3 - 3x^2 - x + 6) : (x - 2) = x^2 - x - 3$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 3) = 0$

Оставшиеся два корня найдем, решив квадратное уравнение $x^2 - x - 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, остальные два корня: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: многочлен $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 6$; его корни: $2, \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

2) По условию, один из корней многочлена $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + p$ равен -1. Это означает, что $P(-1)=0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x=-1$ в выражение для многочлена:

$P(-1) = 2(-1)^3 - 4(-1)^2 - 3(-1) + p = 0$

$2(-1) - 4(1) + 3 + p = 0$

$-2 - 4 + 3 + p = 0$

$-3 + p = 0$

$p = 3$

Следовательно, искомый многочлен имеет вид: $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + 3$.

Теперь найдем все его корни. Поскольку мы знаем, что $x_1 = -1$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка. Выполним деление многочленов:

$(2x^3 - 4x^2 - 3x + 3) : (x + 1) = 2x^2 - 6x + 3$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$P(x) = (x + 1)(2x^2 - 6x + 3) = 0$

Оставшиеся два корня найдем, решив квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, остальные два корня: $x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: многочлен $P(x) = 2x^3 - 4x^2 - 3x + 3$; его корни: $-1, \frac{3 + \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$.