Номер 35.1, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.1. При каких значениях $p$ равно 0 значение произведения корней квадратного уравнения:

1) $x^2 + 7x + (p^2 - 3p + 2) = 0;$

2) $x^2 - 3x + (2p^2 - 3p - 5) = 0;$

3) $3x^2 - 2x + (p^2 - 3p - 4) = 0;$

4) $x^2 + 7x + (4p^2 - 9p + 5) = 0?$

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых произведение корней квадратного уравнения равно нулю, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + Bx + C = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = C$. Для общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда свободный член $C$ (или $c$) равен нулю. При этом необходимо, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Если мы приравниваем $c$ к нулю, то $D = b^2$. Во всех представленных уравнениях коэффициент при $x$ (то есть $b$) не равен нулю, значит, $D = b^2 > 0$, и существование действительных корней гарантировано.

1) Дано уравнение $x^2 + 7x + (p^2 - 3p + 2) = 0$.Здесь свободный член $c = p^2 - 3p + 2$.Приравниваем его к нулю, чтобы произведение корней было равно 0:$p^2 - 3p + 2 = 0$.Это квадратное уравнение относительно $p$. Его корни можно найти по теореме Виета для переменной $p$: сумма корней равна 3, произведение равно 2. Отсюда $p_1 = 1$ и $p_2 = 2$.Проверим дискриминант исходного уравнения: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 3p + 2)$. При найденных значениях $p$, выражение в скобках равно нулю, поэтому $D = 49 > 0$. Корни существуют.Ответ: $p=1$, $p=2$.

2) Дано уравнение $x^2 - 3x + (2p^2 - 3p - 5) = 0$.Свободный член $c = 2p^2 - 3p - 5$.Приравниваем его к нулю:$2p^2 - 3p - 5 = 0$.Решаем это квадратное уравнение относительно $p$ через дискриминант:$D_p = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.$p_{1,2} = \frac{-(-3) \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}$.$p_1 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.$p_2 = \frac{3-7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.Дискриминант исходного уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 - 3p - 5)$. При найденных значениях $p$ выражение в скобках равно нулю, поэтому $D = 9 > 0$. Корни существуют.Ответ: $p=-1$, $p=2.5$.

3) Дано уравнение $3x^2 - 2x + (p^2 - 3p - 4) = 0$.Здесь произведение корней равно $\frac{c}{a} = \frac{p^2 - 3p - 4}{3}$.Приравниваем это выражение к нулю, что эквивалентно $c=0$:$p^2 - 3p - 4 = 0$.Решаем квадратное уравнение относительно $p$ по теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно -4. Отсюда $p_1 = 4$ и $p_2 = -1$.Дискриминант исходного уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (p^2 - 3p - 4)$. При найденных значениях $p$ выражение в скобках равно нулю, поэтому $D = 4 > 0$. Корни существуют.Ответ: $p=-1$, $p=4$.

4) Дано уравнение $x^2 + 7x + (4p^2 - 9p + 5) = 0$.Свободный член $c = 4p^2 - 9p + 5$.Приравниваем его к нулю:$4p^2 - 9p + 5 = 0$.Решаем это квадратное уравнение относительно $p$ через дискриминант:$D_p = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.$p_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 1}{8}$.$p_1 = \frac{9+1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$.$p_2 = \frac{9-1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.Дискриминант исходного уравнения $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4p^2 - 9p + 5)$. При найденных значениях $p$ выражение в скобках равно нулю, поэтому $D = 49 > 0$. Корни существуют.Ответ: $p=1$, $p=1.25$.