Номер 34.7, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.7. Найдите действительные корни уравнения:

1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$;

2) $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$;

3) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$.

1) $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$

Для нахождения действительных корней уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена (-2), то есть $ \pm 1, \pm 2$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

При $x = -1$: $(-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $x = -1$ является корнем.

При $x = 2$: $2^4 - 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 16 - 8 - 4 - 2 - 2 = 0$. Следовательно, $x = 2$ является корнем.

Поскольку мы нашли два корня, многочлен $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2$ делится на произведение $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполним деление многочлена на $x^2 - x - 2$ столбиком или по схеме Горнера, что даст в частном $x^2 + 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x^2 - x - 2)(x^2 + 1) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни мы уже нашли: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

2. $x^2 + 1 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 = -1$.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются только $x = -1$ и $x = 2$.

Ответ: $-1; 2$.

2) $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$

Найдем рациональные корни, которые могут быть среди делителей свободного члена 4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим эти значения:

При $x = 1$: $1^4 - 1^3 - 2(1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 1 - 2 - 2 + 4 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.

При $x = 2$: $2^4 - 2^3 - 2(2)^2 - 2(2) + 4 = 16 - 8 - 8 - 4 + 4 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.

Разделим многочлен $x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4$ на $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.

$(x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4) \div (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 2x + 2$.

Уравнение принимает вид:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x + 2) = 0$.

Рассмотрим два уравнения:

1. $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. $x^2 + 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Действительными корнями исходного уравнения являются $x = 1$ и $x = 2$.

Ответ: $1; 2$.

3) $x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-12): $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Проверим некоторые из них:

При $x = -1$: $(-1)^4 - 2(-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) - 12 = 1 + 2 + 1 + 8 - 12 = 0$. Следовательно, $x = -1$ — корень.

При $x = 3$: $3^4 - 2(3)^3 + 3^2 - 8(3) - 12 = 81 - 54 + 9 - 24 - 12 = 0$. Следовательно, $x = 3$ — корень.

Разделим исходный многочлен на $(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$.

$(x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12) \div (x^2 - 2x - 3) = x^2 + 4$.

Уравнение можно записать как:

$(x^2 - 2x - 3)(x^2 + 4) = 0$.

Рассмотрим два уравнения:

1. $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

2. $x^2 + 4 = 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 = -4$.

Действительными корнями исходного уравнения являются $x = -1$ и $x = 3$.

Ответ: $-1; 3$.